Chủ đề này có 3 trả lời

[dungtran14]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ .

Chứng minh rằng $\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\geq xy +yz +xz$.

[HatNangNgoaiThem]

Bạn có thể xem tại đây:    http://dethi.violet....try_id/10930462

[binhnhaukhong]

Vì $a+b+c\leq 3$ nên BĐT sau sẽ được thỏa mãn:$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+bc+ac$

[Dinh Xuan Hung]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ .

Chứng minh rằng $\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\geq xy +yz +xz$.

$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)=(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)\geq (xy+yz+xz)^2\Leftrightarrow x+y+z\geq xy+yz+xz$

AM-GM:

$\sqrt[3]{y.z.1}\leq \frac{y+z+1}{3}\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \frac{3x}{y+z+1}=\frac{3x^2}{xy+xz+x}$

CMTT:$\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}\geq \frac{3y^2}{xy+yz+y}$

$\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\geq \frac{3z^2}{xz+yz+z}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{3x^2}{xy+xz+x}\geq 3.\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq 3\frac{(x+y+z)^2}{3(x+y+z)}=x+y+z\geq xy+yz+xz$