Chủ đề này có 8 trả lời

[libtibber18]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^{2} + b^{2} + c^{2} =1$

CMR: A= $\frac{a^{2}}{1+2bc} + \frac{b^{2}}{1+2ac} + \frac{c^{2}}{1+2ab}$ $> \frac{3}{5}$

[HoangVienDuy]

đề có dấu bằng thì phải 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 15-03-2015 - 20:10

[arsfanfc]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^{2} + b^{2} + c^{2} =1$

CMR: A= $\frac{a^{2}}{1+2bc} + \frac{b^{2}}{1+2ac} + \frac{c^{2}}{1+2ab}$ $> \frac{3}{5}$

$A=\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}$

Áp dụng BĐT svac :

$\Rightarrow A\geq \frac{(a+b+c)^2}{3+2(ab+bc+ca)}$

Ta lại có :

$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca => ab+bc+ca \leq 1$

$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)=> (a+b+c)^2 \geq 3$ ( 2 bđt này bạn tự cm )

Thay vào A ta có :

$A \geq \frac{3}{5} $

dấu "=" khi $ a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

"ấn " thích nha bạn 

[HoangVienDuy]

$A=\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}$

Áp dụng BĐT svac :

$\Rightarrow A\geq \frac{(a+b+c)^2}{3+2(ab+bc+ca)}$

Ta lại có :

$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca => ab+bc+ca \leq 1$

$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)=> (a+b+c)^2 \geq 3$ ( 2 bđt này bạn tự cm )

Thay vào A ta có :

$A \geq \frac{3}{5} $

dấu "=" khi $ a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

"ấn " thích nha bạn 

chỗ màu đỏ bị ngược dấu bạn ơi

[arsfanfc]

chỗ màu đỏ bị ngược dấu bạn ơi

uk...mk bị nhầm dấu rồi :3

[hoanglong2k]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^{2} + b^{2} + c^{2} =1$

CMR: A= $\frac{a^{2}}{1+2bc} + \frac{b^{2}}{1+2ac} + \frac{c^{2}}{1+2ab}$ $> \frac{3}{5}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$:

$A=\frac{a^{2}}{1+2bc} + \frac{b^{2}}{1+2ac} + \frac{c^{2}}{1+2ab} $

$=\frac{a^4}{a^2+2a^2bc}+\frac{b^4}{b^2+2b^2ac}+\frac{c^4}{c^2+2c^2ab}$

$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab.bc+bc.ca+ca.ab)}$

$\geq \frac{1}{1+2.\frac{1}{3}(ab+bc+ca)^2}\geq \frac{1}{1+\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)}$

$=\frac{5}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}$

[dinhnguyenhoangkim]

Từ giả thiết suy ra $a, b, c\in \left ( 0;1 \right )$

Ta có: $A\geq \sum \frac{a^2}{1+b^2+c^2}= \sum \frac{a^2}{2-a^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2}{2-x^2}\geq \frac{18}{25}x^2-\frac{1}{25},\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (1)

Ta có: (1) $\Leftrightarrow 25x^2\geq \left ( 18x^2-1 \right )\left ( 2-x^2 \right ),\forall x\in \left ( 0;1 \right )$

                 $\Leftrightarrow \left ( 3x^2-1 \right )^2\geq 0,\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (đúng)

Vậy $A\geq \frac{18}{25}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )-\frac{3}{25}= \frac{18}{25}-\frac{3}{25}= \frac{3}{5}$

       $\Rightarrow$ đpcm

[tran khanh hung]

dùng b.c.s ra ngay m

[ngutoanso1]

Từ giả thiết suy ra $a, b, c\in \left ( 0;1 \right )$

Ta có: $A\geq \sum \frac{a^2}{1+b^2+c^2}= \sum \frac{a^2}{2-a^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2}{2-x^2}\geq \frac{18}{25}x^2-\frac{1}{25},\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (1)

Ta có: (1) $\Leftrightarrow 25x^2\geq \left ( 18x^2-1 \right )\left ( 2-x^2 \right ),\forall x\in \left ( 0;1 \right )$

                 $\Leftrightarrow \left ( 3x^2-1 \right )^2\geq 0,\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (đúng)

Vậy $A\geq \frac{18}{25}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )-\frac{3}{25}= \frac{18}{25}-\frac{3}{25}= \frac{3}{5}$

       $\Rightarrow$ đpcm

bạn có thể giải thích cho mình tại sao nghĩ ra phần màu đỏ được không