Chủ đề này có 10 trả lời

[lethanhson2703]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ac}\le \frac{3}{2}$

[Nguyen Duc Phu]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ac}\le \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta có:

$\sum \frac{1}{3-ab}\geq \frac{(1+1+1)^2}{3-ab+3-bc+3-ca}=\frac{9}{9-ab-bc-ca}$

Ta chỉ cần chứng minh $9-ab-bc-ca\geq 6$

Thật vậy bđt trên $\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3=a^2+b^2+c^2$ (Luôn đúng)

Vậy $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ac}\le \frac{3}{2}$

[plutocute]

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta có:

$\sum \frac{1}{3-ab}\geq \frac{(1+1+1)^2}{3-ab+3-bc+3-ca}=\frac{9}{9-ab-bc-ca}$

Ta chỉ cần chứng minh $9-ab-bc-ca\geq 6$

Thật vậy bđt trên $\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3=a^2+b^2+c^2$ (Luôn đúng)

Vậy $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ac}\le \frac{3}{2}$

bị ngược dấu rồi bạn

[Nguyen Duc Phu]

bị ngược dấu rồi bạn

Ngược gì đúng mà!

Tính chất cơ bản của bđt là nếu $a>b$ và $ab>0$ thì $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

[nguyenhongsonk612]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ac}\le \frac{3}{2}$

Nhớ không nhầm đây là bài trong đề thi tỉnh nào ý

Ta có

$\frac{2}{3}-\frac{1}{3-ab}=\frac{3-2ab}{3(3-ab)}=\frac{(a-b)^2}{3(3-ab)}+\frac{c^2}{3(3-ab)}$

BĐT cần C/m tương đương với

$\sum \frac{(a-b)^2}{3-ab}+\sum \frac{c^2}{3-ab}\geq \frac{3}{2}$

Theo BĐT Cauchy Schwarz ta có

$\sum \frac{c^2}{3-ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}$

$\sum \frac{(a-b)^2}{3-ab}\geq \frac{4(a-c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}$

$\Rightarrow VT\geq \frac{4(a-c)^2+(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow (a-c)^2+7(a-b)(b-c)\geq 0$

Vậy ta chỉ cần chỉ ra $(a-b)(b-c) \geq 0$

Có thể giả sử b là số nằm giữa a và c

Thực hiện các đánh giá tương tự ta chỉ cần xét tính đúng đắn của BĐT

$(b-c)(c-a);(c-a)(a-b)$

Ta thấy

$\prod (a-b)(b-c)=\prod (a-b)^2\geq 0$

$\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất $1$ trong $3$ số $(a-b)(b-c);(b-c)(c-a);(c-a)(a-b)$ không âm

Giả sử đó là $(a-b)(b-c)$ thì ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[arsfanfc]

Ngược gì đúng mà!

Tính chất cơ bản của bđt là nếu $a>b$ và $ab>0$ thì $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

nhưng bạn ơi  ta có $\sum \frac{1}{3-ab} \geq \frac{9}{9-ab-bc-ca}$

$\frac{1}{a} \geq \frac{b}{c}$

$c \leq d chắc gì \frac{1}{a} \leq \frac{b}{d}$

[Lee LOng]

Ta có:

$\frac{ab}{3-ab}=\frac{ab}{\frac{1}{2}(c^{2}+3)+\frac{1}{2}(a-b)^{2}}\leq \frac{2ab}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}} \right )$

Chứng minh các BĐT tương tự

$\Rightarrow Đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 15-03-2015 - 22:53

[HoangVienDuy]

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta có:

$\sum \frac{1}{3-ab}\geq \frac{(1+1+1)^2}{3-ab+3-bc+3-ca}=\frac{9}{9-ab-bc-ca}$

Ta chỉ cần chứng minh $9-ab-bc-ca\geq 6$

Thật vậy bđt trên $\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3=a^2+b^2+c^2$ (Luôn đúng)

Vậy $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ac}\le \frac{3}{2}$ngược dấu quá rõ ràng luôn g/s 1/2>=1/1$\frac{1}{2}\geq \frac{1}{10}$

 Ngược dấu quá rõ ràng luôn: ta có $\frac{1}{2}\geq \frac{1}{10}$ và $\frac{1}{10}\leq \frac{1}{9}$ chẳng lẽ $\frac{1}{2}\leq \frac{1}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 16-03-2015 - 14:00

[binhnhaukhong]

Quy đồng lên ta quy BĐT về chứng minh:

$3r^2-7pr+13q-27\leq 0$

Trong đó $r=abc,p=a+b+c,q=ab+bc+ac$ và $p^2-2q=3$

Với điều kiện trên và áp dúng BĐT $r\leq \frac{p^3}{27}$ ta dễ dàng biến đổi BĐT về:

$(x-9)(\frac{6x^2}{27}-\frac{12x}{27}+11)\leq 0$ với $x=p^2$

Vậy BĐT ban đầu đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 16-03-2015 - 17:10

[lethanhson2703]

Quy đồng lên ta quy BĐT về chứng minh:

$3r^2-7pr+13q-27\leq 0$

Trong đó $r=abc,p=a+b+c,q=ab+bc+ac$ và $p^2-2q=3$

Với điều kiện trên và áp dúng BĐT $r\leq \frac{p^3}{27}$ ta dễ dàng biến đổi BĐT về:

$(x-9)(\frac{6x^2}{27}-\frac{12x}{27}+11)\leq 0$ với $x=p^2$

Vậy BĐT ban đầu đúng.

Cách này m cx định dùng Schur cơ mà lm mãi không ra không ngờ dễ :3

[tunglamlqddb]

Ta có:
$\frac{ab}{3-ab}=\frac{ab}{\frac{1}{2}(c^{2}+3)+\frac{1}{2}(a-b)^{2}}\leq \frac{2ab}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}} \right )$
Chứng minh các BĐT tương tự
$\Rightarrow Đpcm$

Bạn giải thích rõ hơn hộ mình với, mình tưởng gt 1 ở tử, đâu phải ab?