Chủ đề này có 4 trả lời

[hello123321]

cho x,y,z là các số thực thuộc đoạn [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{x^2y+y^2z+z^2x}{x^4+y^4+z^4}$

[Chung Anh]

Do $1 \leq x,y,z$

Nên ta có  $A\leq \frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x^4+y^4+z^4}\leq 1 $

Dấu bằng xảy ra <=> x=y=z=1

[Ngoc Hung]

Ta có $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Và $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{3}\Rightarrow A\leq \sqrt{\frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq 1$

Do đó GTLN của A là 1

Mặt khác ta đặt $x=a^{2};y=b^{2};z=c^{2}\Rightarrow x,y,z\in [1;4]\Rightarrow 3A\geq \frac{2(x+y+z)+xy+yz+zx}{5(x+y+z)-12}=f(x,y,z)$

Dễ dàng chứng minh được $f(x,y,z)\geq min\left \{ f(1,y,z),f(4,y,z) \right \}\geq min\left \{ f(1,4,z),f(1,1,z),f(4,1,z) \right \}\geq \frac{7}{8}$

[rainfly22]

Ta có $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Và $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{3}\Rightarrow A\leq \sqrt{\frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq 1$

Do đó GTLN của A là 1

Mặt khác ta đặt $x=a^{2};y=b^{2};z=c^{2}\Rightarrow x,y,z\in [1;4]\Rightarrow 3A\geq \frac{2(x+y+z)+xy+yz+zx}{5(x+y+z)-12}=f(x,y,z)$

Dễ dàng chứng minh được $f(x,y,z)\geq min\left \{ f(1,y,z),f(4,y,z) \right \}\geq min\left \{ f(1,4,z),f(1,1,z),f(4,1,z) \right \}\geq \frac{7}{8}$

bđt đầu và chỗ 3A>= ... đó biến đổi kiểu gì hay vậy bạn???

[25 minutes]

 

Mặt khác ta đặt $3A\geq \frac{2(x+y+z)+xy+yz+zx}{5(x+y+z)-12}=f(x,y,z)$

 

Bạn có thể giải thích kĩ dòng này giúp mọi người không, chứ đọc xong chả hiểu sao lại ra như vậy.