Chủ đề này có 1 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Tìm GTLN của $P=(a+b+c)^{3}+a(2bc-1)+b(2ca-1)+c(2ab-1)$

[rainfly22]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Tìm GTLN của $P=(a+b+c)^{3}+a(2bc-1)+b(2ca-1)+c(2ab-1)$

P=$P=\left ( a+b+c \right )^{3} - \left ( a+b+c \right ) + 6abc = 2.\left ( a+b+c \right ).\left ( ab+bc+ca \right )+6abc$

$\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 3\sum a^{2}=3\Rightarrow \left ( a+b+c \right )\leq\sqrt{3}$

$\sum ab\leq \sum a^{2}=1$

$1=\sum a^{2}\geq 3\sqrt[3]{abc^{2}}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\Rightarrow 6abc\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

=> $P\leq 2.\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$