Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi hsg lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#1
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết

Đề thi hsg lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015( Đề không khó lắm)

Hình gửi kèm

  • 20917_477601549053830_5126132065599584974_n.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 17-03-2015 - 12:51

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#2
HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Đề thi hsg lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015( Đề không khó lắm)

câu 3:a, ta có $P=\sum \frac{1}{9a^{2}+\frac{3b^{2}}{a}+\frac{c}{a}}\leq \sum \frac{1}{3\sqrt[3]{27b^{2}c}}\doteq \sum \frac{1}{9\sqrt[3]{b^{2}c}}\doteq \sum \frac{1}{9}\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\left [ \sum \sqrt[3]{\frac{a}{b}} \right ]$ ta thấy $3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}\leq \frac{a}{b}+2$ (cauchy 3 số). 
 $\Rightarrow \sum 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}\leq \sum \frac{a}{b}+6$. mặt khác $\sum \frac{a}{b}+6=\sum \frac{1-b-c}{b}+6=\sum \frac{1}{b}-\sum \frac{c}{b}-3+6\leq \frac{ab+bc+ca}{abc}-3-3+6=\frac{(a+b+c)^{2}}{3abc}\leq 81$.  
vậy $P\leq \frac{1}{9}\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\frac{81}{3}\leq \frac{1}{27}.27=1$ dài :(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 17-03-2015 - 13:52

Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#3
Sherlock Nguyen

Sherlock Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết

Đề thi hsg lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015( Đề không khó lắm)

3b: $(x+1)(x^{2}+1)=(2^{y}-1)^{2}$

CM được $(x+1)(x^{2}+1)=1 với x chẵn$

=>x+1=...

    x^{2}+1=..

Giải các TH ta đc 2 nghiệm (0;1);(0;0)



#4
vda2000

vda2000

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

 

câu 3:a, ta có $P=\sum \frac{1}{9a^{2}+\frac{3b^{2}}{a}+\frac{c}{a}}\leq \sum \frac{1}{3\sqrt[3]{27b^{2}c}}\doteq \sum \frac{1}{9\sqrt[3]{b^{2}c}}\doteq \sum \frac{1}{9}\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\left [ \sum \sqrt[3]{\frac{a}{b}} \right ]$ ta thấy $3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}\leq \frac{a}{b}+2$ (cauchy 3 số). 
 $\Rightarrow \sum 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}\leq \sum \frac{a}{b}+6$. mặt khác $\sum \frac{a}{b}+6=\sum \frac{1-b-c}{b}+6=\sum \frac{1}{b}-\sum \frac{c}{b}-3+6\leq \frac{ab+bc+ca}{abc}-3-3+6=\frac{(a+b+c)^{2}}{3abc}\leq 81$.  
vậy $P\leq \frac{1}{9}\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\frac{81}{3}\leq \frac{1}{27}.27=1$ dài :(

 

Kinh khủng quá nhỉ? Thử cách khác nhé  :icon6:

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:

$9a^3+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 3\sqrt[3]{9a^3.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}= 3a$

$3b^2+\frac{1}{3}\geq 2\sqrt{3b^2.\frac{1}{3}}=2b$

Do đó, $\sum\frac{a}{9a^3+3b^2+c}\leq\sum\frac{a}{3a+2b+c-1}=\frac{a}{2a+b}$ (Vì $a+b+c=1$)

Nhân $2$ vào $P$, ta có:

$2P\leq\sum\frac{2a}{2a+b}=3-\sum\frac{b}{2a+b}=3-\sum\frac{b^2}{2ab+b^2}$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$2P\leq 3-\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=3-\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=2$

$P\leq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 17-03-2015 - 14:03

$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$

If you see this, you will visit my facebook.....!


#5
A piece of life

A piece of life

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đề thi hsg lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015( Đề không khó lắm)

 

Bài 3 : Em tính thế này  :icon6:

Từ giả thiết ta có : $ab+bc+ca \leq \frac{1}{3}$
Theo $Cauchy-Schwarz$ ta có : 
$ P = \sum \frac{a(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c)}{(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c)(9a^3+3b^2+c)} \leq \sum \frac{\frac{1}{9}+\frac{a}{3}+ac}{(a+b+c)^2} = \frac{2}{3}+ab+bc+ca \leq 1$



#6
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết

cách bạn vda2000 hay thật. ngắn gọn dễ nhớ 

 

Kinh khủng quá nhỉ? Thử cách khác nhé  :icon6:

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:

$9a^3+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 3\sqrt[3]{9a^3.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}= 3a$

$3b^2+\frac{1}{3}\geq 2\sqrt{3b^2.\frac{1}{3}}=2b$

Do đó, $\sum\frac{a}{9a^3+3b^2+c}\leq\sum\frac{a}{3a+2b+c-1}=\frac{a}{2a+b}$ (Vì $a+b+c=1$)

Nhân $2$ vào $P$, ta có:

$2P\leq\sum\frac{2a}{2a+b}=3-\sum\frac{b}{2a+b}=3-\sum\frac{b^2}{2ab+b^2}$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$2P\leq 3-\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=3-\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=2$

$P\leq 1$

 

Một cách ngắn gọn nữa cho bài bất đẳng thức.Thực sự ở tỉnh mình hầu như ai cũng làm như bạn vda2000.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có: $(9a^3+3a^2+c)(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c)\geq 1$

Do đó $\frac{a}{9a^3+3b^2+c}\leq \frac{1+3a+9ac}{9}$

Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta có: $P\leq \sum \frac{1+3a+9ac}{9}=\frac{6+9(ab+bc+ca)}{9}\leq 1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#7
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Có một dây cung cố định là sao nhỉ, chứng minh đường tròn đó luôn đi qua 2 điểm cố định á ???



#8
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết

Có một dây cung cố định là sao nhỉ, chứng minh đường tròn đó luôn đi qua 2 điểm cố định á ???

Luôn có một dây cung không thay đổi 


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#9
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

10981996_1642291215993991_63915011255144

a) Ta có: $a)\Delta CBE\sim \Delta CDA\Rightarrow CE.CD=CB.CA=\frac{3a^2}{4}$
b) Ta có: $S_{BDE}=\frac{1}{2}BC.DE=\frac{3a}{8}.(DC+CE)\geq \frac{3a}{8}.2.\sqrt{DC.CE}=\frac{3\sqrt3a^2}{8}$
c) Gọi $O$ là trung điểm $DE$
          $I$ là giao điểm $(O)$ và $AC$
          $H$ đối xứng $I$ qua $C\Rightarrow H\in (O)$
Ta có: $IC^2=CD.CE=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow IC=\frac{a\sqrt3}{2}\Rightarrow$ I cố định mà C cố định $\Rightarrow$ H cố định
Nên có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 17-03-2015 - 14:57


#10
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

Câu 3/b :(

$PT\Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)=(2y-1)^2\Rightarrow (x^2+1;x+1)=1\Rightarrow x^2+1=a^2$.

 

Câu 5/

QN.

Với $n=3$ thì $3$.

Ta có: $1;\frac{1}{2};...;\frac{1}{j}\Rightarrow j$.

CM: $1;\frac{1}{2};...;\frac{1}{{j+1}}\Rightarrow j+1$.

Thật vậy: $LHS=j+\frac{1}{j+1}+\frac{j}{j+1}=j+1=RHS$.

Vậy với $2015$ số thì $2015$ là đáp án cần tìm.

p/s: Key thực sự rứt đẹp.

Lòng như MT :(


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#11
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Câu 1:

a,ĐKXĐ: $x\geq 0;x\neq 1;x\neq 4$

$A=\frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt{x}-2}$

b, $A=-6\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt{x}-2}=-6\Rightarrow \sqrt{x}-9=-6(\sqrt{x}-2)\Leftrightarrow 7\sqrt{x}=21\Leftrightarrow \sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9(TM)$



#12
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Câu 2:

a, $(x;y)\rightarrow (\frac{15}{26};\frac{5}{13})$$(x;y)\rightarrow (\frac{15}{26};\frac{5}{13})$

b, Dễ dang có được $\left\{\begin{matrix} x=\frac{5m+10}{m^2+4} & & \\ y=\frac{5m-10}{m^2+4} & & \end{matrix}\right.$

Ta có:$x+y-2014=\frac{-2015m^2+14m-8056}{m^2+4}\Leftrightarrow \frac{10m}{m^2+4}-2014=\frac{-2015m^2+14m-8056}{m^2+4}\Leftrightarrow \frac{-2014m^2+10m-8056}{m^2+4}=\frac{-2015m^2+14m-8056}{m^2+4}\Leftrightarrow -2014m^2+10m-8056=-2015m^2+14m-8056\Leftrightarrow m^2-4m=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m=0 & & \\ m=4 & & \end{bmatrix}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 18-03-2015 - 12:01


#13
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết

Câu 2:

a, $(x;y)\rightarrow (\frac{15}{26};\frac{5}{13})$$(x;y)\rightarrow (\frac{15}{26};\frac{5}{13})$

b, Dễ dang có được $\left\{\begin{matrix} x=\frac{5m+10}{m^2+4} & & \\ y=\frac{5m-10}{m^2+4} & & \end{matrix}\right.$

Ta có:$x+y-2014=\frac{-2015m^2+14m-8056}{m^2+4}\Leftrightarrow \frac{10m}{m^2+4}-2014=\frac{-2015m^2+14m-8056}{m^2+4}\Leftrightarrow \frac{-2014m^2+10m-8056}{m^2+4}=\frac{-2015m^2+14m-8056}{m^2+4}\Leftrightarrow -2014m^2+10m-8056=-2015m^2+14m-8056\Leftrightarrow m^2-4m=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m=0 & & \\ m=4 & & \end{bmatrix}$

Kết quả của bạn bị sai rồi nhé.Đây được đánh giá là một bài không khó


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#14
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

SỞ GD - ĐT VĨNH PHÚC                               KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015

  ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                             ĐỀ THI MÔN: TOÁN

                                                                                              Thời gian làm bài: 150 phút

 

 

Bài 1: Cho biểu thức $A=\left ( \frac{3x+\sqrt{16x}-7}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}-1} \right ):\left ( 2-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right )$

            a) Rút gọn biểu thức A 

            b) Tìm x để A = -6

Bài 2: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} mx-2y=2 & \\ 2x+my=5 & \end{matrix}\right.$ (với m là tham số)

            a) Giải hệ phương trình trên khi m = 10

            b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức $x+y-2014=\frac{-2015m^{2}+14m-8056}{m^{2}+4}$

Bài 3:   a) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTLN của $P=\frac{a}{9a^{3}+3b^{2}+c}+\frac{b}{9b^{3}+3c^{2}+a}+\frac{c}{9c^{3}+3a^{2}+b}$

             b) Giải phương trình nghiệm nguyên $x(1+x+x^{2})=4y(y-1)$

Bài 4: Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC = 4AB. Tia Cx vuông góc với AC tại C, gọi D là một điểm bất kì thuộc tia Cx (D khác C). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K, E.

            a) Tính giá trị DC. CE theo a

            b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất

            c) Chứng minh rằng khi D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một dây cung cố định

Bài 5: Cho dãy gồm 2015 số: $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};...;\frac{1}{2014};\frac{1}{2015}$

            Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kì trong dãy và viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng u + v + uv vào vị trí của u hoặc v. Cứ làm như vậy đối với dãy mới thu được và sau 2014 lần biến đổi đó, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó.



#15
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

SỞ GD - ĐT VĨNH PHÚC                               KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015

  ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                             ĐỀ THI MÔN: TOÁN

                                                                                              Thời gian làm bài: 150 phút

 

 

Bài 2: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} mx-2y=2 & \\ 2x+my=5 & \end{matrix}\right.$ (với m là tham số)

            a) Giải hệ phương trình trên khi m = 10

            b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức $x+y-2014=\frac{-2015m^{2}+14m-8056}{m^{2}+4}$

 

b) Giải hệ ta có nghiệm $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2m+10}{m^{2}+4} & \\ y=\frac{5m-4}{m^{2}+4}& \end{matrix}\right.$

Theo giả thiết $x+y-2014=\frac{-2015m^{2}+14m-8056}{m^{2}+4}\Leftrightarrow m^{2}-7m+6=0\Leftrightarrow m=1;m=6$



#16
rainfly22

rainfly22

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Câu 3/b :(

$PT\Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)=(2y-1)^2\Rightarrow (x^2+1;x+1)=1\Rightarrow x^2+1=a^2$.

 

Câu 5/

QN.

Với $n=3$ thì $3$.

Ta có: $1;\frac{1}{2};...;\frac{1}{j}\Rightarrow j$.

CM: $1;\frac{1}{2};...;\frac{1}{{j+1}}\Rightarrow j+1$.

Thật vậy: $LHS=j+\frac{1}{j+1}+\frac{j}{j+1}=j+1=RHS$.

Vậy với $2015$ số thì $2015$ là đáp án cần tìm.

p/s: Key thực sự rứt đẹp.

Lòng như MT :(

:ohmy:  mình chưa hiểu lắm.Bạn có thể giải rõ hơn được ko??? Mà LHS và RHS là gì vậy



#17
huythcsminhtan

huythcsminhtan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Chắc là quy nạp ấy ???


$\bigstar$ Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có $\bigstar$

 
  $\bigstar$ Perfect numbers like perfect men are very rare. $\bigstar$ 
 
                                                                                                   
                                                                                       ____ Rene Descartes ____

#18
rainfly22

rainfly22

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Chắc là quy nạp ấy ???

mình biết là dạng đó rùi nhưng vẫn ko hiểu :))



#19
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

:ohmy:  mình chưa hiểu lắm.Bạn có thể giải rõ hơn được ko??? Mà LHS và RHS là gì vậy

Câu 5:

Đặt $x=u+v+uv\Rightarrow x+1=u+v++uv+1=(u+1)(v+1)$

Suy ra:cộng mỗi dãy số trên với 1 thì sau mỗi lần thực hiện xóa đi hai số u+1 và v+1 thì ta viết lên dãy (u+1)(v+1)

Nếu lúc đầu dãy số có u,v,a,b,c... thì sau đó có dãy số x,a,b,c...(xóa u,v và thay bằng x)

Vì (u+1)(v+1)(a+1)(b+1)(c+1)...=(x+1)(a+1)(b+1)(c+1)....

Lúc này tích các số trên dãy số sau mỗi lần thực hiện xóa và thay số là không đổi . Tức là giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy . Vậy, nếu cuối cùng còn số k thì$k+1=\left ( \frac{1}{1}+1 \right )\left ( \frac{1}{2}+1 \right )...\left ( \frac{1}{2015}+1 \right )=2016\Rightarrow k=2015$ 

Suy ra k = 2015. Vậy số cuối cùng đó là 2015.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-03-2015 - 20:20


#20
rainfly22

rainfly22

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Câu 5:
Đặt $x=u+v+1\Rightarrow x+1=u+v+1=(u+1)(v+1)$
Suy ra:cộng mỗi dãy số trên với 1 thì sau mỗi lần thực hiện xóa đi hai số u+1 và v+1 thì ta viết lên dãy (u+1)(v+1)
Nếu lúc đầu dãy số có u,v,a,b,c... thì sau đó có dãy số x,a,b,c...(xóa u,v và thay bằng x)
Vì (u+1)(v+1)(a+1)(b+1)(c+1)...=(x+1)(a+1)(b+1)(c+1)....
Lúc này tích các số trên dãy số sau mỗi lần thực hiện xóa và thay số là không đổi . Tức là giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy . Vậy, nếu cuối cùng còn số k thì$k+1=\left ( \frac{1}{1}+1 \right )\left ( \frac{1}{2}+1 \right )...\left ( \frac{1}{2015}+1 \right )=2016\Rightarrow k=2015$ 
Suy ra k = 2015. Vậy số cuối cùng đó là 2015.

cảm ơn bạn nhé mình hiểu r.Nhưng chỗ đầu bạn viết nhầm : Đặt $x=u+v+uv \Rightarrow x+1=(u+1)(v+1)$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh