Chủ đề này có 4 trả lời

[raquaza]

$6x^{3}(\sqrt{5-x^2}+3)=128+x^6$

[vda2000]

$6x^{3}(\sqrt{5-x^2}+3)=128+x^6$

Từ phương trình suy ra được $x^3>0\Rightarrow x>0$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:

$\sqrt{(5-x^2).1}\leq\frac{5-x^2+1}{2}=\frac{6-x^2}{2}$

Do đó, $6x^3(\sqrt{5-x^2}+3)\leq 3x^3(12-x^2)$

Từ pt và điều trên, ta suy ra được:

$128+x^6\leq 3x^3(12-x^2)$

$\Leftrightarrow x^6+3x^5-36x^3+128\leq 0$

$\Leftrightarrow x^6-4x^5+4x^4+7x^5-28x^4+28x^3+24x^4-96x^3+96x^2+32x^3-128x^2+128x+32x^2-128x+128\leq 0$

$\Leftrightarrow (x^2-4x+4)x^4+7x^3(x^2-4x+4)+24x^2(x^2-4x+4)+32x(x^2-4x+4)+32(x^2-4x+4)\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-2)^2(x^4+7x^3+24x^2+32x+32)\leq 0$ $(1)$

Ta có: $x^4+7x^3+24x^2+32x+32>0$ với $x>0$

Do đó, $(1)\Leftrightarrow (x-2)^2\leq 0$

$\Leftrightarrow x=2$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$

P/S: Cách hơi trâu.      

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 17-03-2015 - 18:58

[raquaza]

Từ phương trình suy ra được $x^3>0\Rightarrow x>0$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:

$\sqrt{(5-x^2).1}\leq\frac{5-x^2+1}{2}=\frac{6-x^2}{2}$

Do đó, $6x^3(\sqrt{5-x^2}+3)\leq 3x^3(12-x^2)$

Từ pt và điều trên, ta suy ra được:

$128+x^6\leq 3x^3(12-x^2)$

$\Leftrightarrow x^6+3x^5-36x^3+128\leq 0$

$\Leftrightarrow x^6-4x^5+4x^4+7x^5-28x^4+28x^3+24x^4-96x^3+96x^2+32x^3-128x^2+128x+32x^2-128x+128\leq 0$

$\Leftrightarrow (x^2-4x+4)x^4+7x^3(x^2-4x+4)+24x^2(x^2-4x+4)+32x(x^2-4x+4)+32(x^2-4x+4)\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-2)^2(x^4+7x^3+24x^2+32x+32)\leq 0$ $(1)$

Ta có: $x^4+7x^3+24x^2+32x+32>0$ với $x>0$

Do đó, $(1)\Leftrightarrow (x-2)^2\leq 0$

$\Leftrightarrow x=2$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$

P/S: Cách hơi trâu.      

hay. đánh giá theo kiểu này đỡ hơn tí xíu $x^{6}+64+64\geq 3.16.x^2\geq 6x^3(\frac{1+5-x^2}{2})\geq 6y^3(3+\sqrt{5-x^2})$

[rainfly22]

hay. đánh giá theo kiểu này đỡ hơn tí xíu $x^{6}+64+64\geq 3.16.x^2\geq 6x^3(\frac{1+5-x^2}{2})\geq 6y^3(3+\sqrt{5-x^2})$

bđt thứ 2 từ đâu suy ra đó bạn???

[raquaza]

theo hướng của mình thì cần cm (1)>=(4) mà có (1)>=(2) , (4)<=(3)