SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG QL I
NGHỆ AN NĂM HỌC: 2014 - 2015
Môn: Toán
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu 1:
a) Giải bất phương trình: $x^{2}-6x+2\geq 2(2-x)\sqrt{2x-1}$
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^{5}+xy^{4}=y^{10}+y^{6}\\ \sqrt{4x+5}+\sqrt{y^{2}+8}=6 \end{matrix}\right.$
Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}-m=y(x+my))\\ x^{2}-y=xy \end{matrix}\right.$
Câu 3:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(2;4) và các đường thẳng $d_{1}: 2x-y-2=0$, $d_{2}: 2x+y-2=0$. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho (C) cắt $d_{1}$ tại A, B và cắt $d_{2}$ tại C, D thỏa mãn: $AB^{2}+CD^{2}+16=5AB.CD$
Câu 4:
1. Cho tam giác ABC có $AB=c,BC=a,AC=b$. Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và $\frac{CM}{AL}=\frac{3}{2}\sqrt{5-2\sqrt{5}}$
Tính $\frac{b}{c}$ và cos A
2. Cho $a,b\in \mathbb{R}$ thỏa mãn: $(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{4}}$
Câu 5:
Cho $f(x)=x^{2}-ax+b$ với $a,b\in \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: tồn tại các số nguyên m,n,p đôi một phân biệt và $1\leq m,n,p\leq 9$ sao cho: $\left | f(m) \right |=\left | f(n) \right |=\left | f(p) \right |=7$
Tìm tất cả các bộ số (a;b).