Chủ đề này có 10 trả lời

[NNT0607]

$\frac{x}{y} +\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+1$

 

 

~~ Nhờ bạn viết lại đề , lúc nãy mình sửa tiêu đề giúp bạn, copy phương trình $2$ , lỡ tay ấn DEL xóa phương trình $1$ và $3$ . Rất xin lỗi bạn !!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 18-03-2015 - 12:18

[NNT0607]

Vâng ạ, anh giúp em với nhé!

[NNT0607]

Hệ thứ nhất với hệ thứ 3 là x+y+z=1 với cả x,y,z>0

[vda2000]

$\frac{x}{y} +\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+1$

 

 

~~ Nhờ bạn viết lại đề , lúc nãy mình sửa tiêu đề giúp bạn, copy phương trình $2$ , lỡ tay ấn DEL xóa phương trình $1$ và $3$ . Rất xin lỗi bạn !!

Xét pt sau thôi:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+1$

$\Leftrightarrow\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx}+\frac{y^2}{y^2}=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+2=\frac{(x+2y+z)^2}{(y+z)(x+y)}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx}+\frac{y^2}{y^2}\geq\frac{(x+2y+z)^2}{xy+yz+zx+y^2}=\frac{(x+2y+z)^2}{(y+z)(x+y)}=VP$

Do đó, pt trên có: $VT\geq VP$ nên đẳng thức phải xảy ra, hay:

$x=y=z=\frac{1}{3}$

[NNT0607]

 

Xét pt sau thôi:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+1$

$\Leftrightarrow\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx}+\frac{y^2}{y^2}=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+2=\frac{(x+2y+z)^2}{(y+z)(x+y)}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx}+\frac{y^2}{y^2}\geq\frac{(x+2y+z)^2}{xy+yz+zx+y^2}=\frac{(x+2y+z)^2}{(y+z)(x+y)}=VP$

Do đó, pt trên có: $VT\geq VP$ nên đẳng thức phải xảy ra, hay:

$x=y=z=\frac{1}{3}$

 

Tks anh nhiều ạ!
 

[NPTV1207]

Anh bị nhầm rồi kìa. Là $\frac{y+z}{z+x}$ mà

[NNT0607]

Anh bị nhầm rồi kìa. Là $\frac{y+z}{z+x}$ mà

Anh nào nhầm cơ hả Vy?

[NPTV1207]

vda2000

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NPTV1207: 18-03-2015 - 23:26

[NPTV1207]

 

Xét pt sau thôi:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+1$

$\Leftrightarrow\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx}+\frac{y^2}{y^2}=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+2=\frac{(x+2y+z)^2}{(y+z)(x+y)}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx}+\frac{y^2}{y^2}\geq\frac{(x+2y+z)^2}{xy+yz+zx+y^2}=\frac{(x+2y+z)^2}{(y+z)(x+y)}=VP$

Do đó, pt trên có: $VT\geq VP$ nên đẳng thức phải xảy ra, hay:

$x=y=z=\frac{1}{3}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NPTV1207: 18-03-2015 - 23:28

[NNT0607]

 

 

Xét pt sau thôi:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+1$

$\Leftrightarrow\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx}+\frac{y^2}{y^2}=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+2=\frac{(x+2y+z)^2}{(y+z)(x+y)}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx}+\frac{y^2}{y^2}\geq\frac{(x+2y+z)^2}{xy+yz+zx+y^2}=\frac{(x+2y+z)^2}{(y+z)(x+y)}=VP$

Do đó, pt trên có: $VT\geq VP$ nên đẳng thức phải xảy ra, hay:

$x=y=z=\frac{1}{3}$

 

 

Đề bài cho là y+z/x+y mà!

[rainfly22]

Đề bài cho là y+z/x+y mà!

thế thì ko thêm $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ nữa mà thay bằng $\frac{z^{2}}{z^{2}}$ là được mà