Chủ đề này có 13 trả lời

[dungtran14]

                                               ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2014-2015

Câu 1(4 điểm): Cho $P=\frac{x^{2}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1}$

                        a, Rút gọn P.

                        b,Tìm Min_P.

Câu 2(4 điểm): 1.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=0$.

                          Tính $T=\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ac}{b^{2}}+\frac{ab}{c^{2}}.$

                        2.Giải phương trình $(2x-1)^{2}=12\sqrt{x^{2}-x-2}+1.$

Câu 3(4 điểm): 1.Chứng minh rằng với mọi n nguyên ta luôn có $n^{2}+n+1$ không chia hết cho 9.

                       2.Cho dãy số 13576193923..., bắt đầu từ chữ số thứ 5, mỗi chữ số bằng hàng đơn vị của tổng bốn chữ số đứng ngay trước nó.

                       Hỏi trong dãy này có chứa cụm chữ số 1234 và 6789 hay không?

Câu 4(3 điểm): Cho a,b,c là các số dương.CMR: $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca.$

Câu 5(5 điểm): Cho $\Delta ABC$ vuông tại A và AB<AC. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh AC($H \in BC$) và M là điểm đối xứng của H qua AB. Tia MC cắt đường tròn ngoại tiếp của $\Delta AHB$ tại P($P\neq M$). Tia HP cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta APC$ tại N($N\neq P$).  Gọi E và K tương ứng là giao  điểm của AB và BC với đường tròn ngoại tiếp $\Delta APC$($E\neq A,K\neq C$).

             a, Chứng minh NE song song với BC.

             b,Chứng minh H là trung điểm của KB.

 Năm nay đề hơi bị dễ  , suy nghĩ một tí là ra liền, chỉ có câu 3.2 là hơi khó chịu một tí   .    

[dungtran14]

3.2. Câu này có trong Toán Học Tuổi Thơ số 431(05-2013).

Ta có: tổng của bốn chữ số lẻ là một số chẵn, tổng của 3 số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.

Cần tìm quy luật chẵn lẻ của dãy: Thay các chữ số chẵn bằng 0 và các chữ số lẻ bằng 1. Lúc này  ta có được dãy mới từ dãy đã cho là 111101111011110.... Dễ thấy rằng cứ bốn số 1 thì sẽ có một số 0 rồi tiếp đến là bốn chữ số 1. Trong khi đó, khi thay bằng cách trên, ta nhận được cụm 1234 là 1010 còn 6789 là 0101. Vì vậy 2 cụm trên không thể xuất hiện trong dãy.

[arsfanfc]

chém nha :

Câu 4: 

 

                                               ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2014-2015

 

Câu 4(3 điểm): Cho a,b,c là các số dương.CMR: $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca.$

 

 Năm nay đề hơi bị dễ  , suy nghĩ một tí là ra liền, chỉ có câu 3.2 là hơi khó chịu một tí   .    

$\frac{a^3}{b}+ab+\frac{b^3}{c}+bc+\frac{c^3}{a}+ac \geq 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca) \geq ab+bc+ca$

dấu "=" khi a=b=c 

[hoanglong2k]

chém nha :

Câu 4: 

 

$\frac{a^3}{b}+ab+\frac{b^3}{c}+bc+\frac{c^3}{a}+ac \geq 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca) \geq ab+bc+ca$

dấu "=" khi a=b=c 

Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Schwarz có ngay: $\sum \frac{a^4}{ab}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}\geq ab+bc+ca$

[arsfanfc]

                                               ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2014-2015

 

Câu 2(4 điểm): 1.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=0$.

                          Tính $T=\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ac}{b^{2}}+\frac{ab}{c^{2}}.$

                      

 Năm nay đề hơi bị dễ  , suy nghĩ một tí là ra liền, chỉ có câu 3.2 là hơi khó chịu một tí   .    

ta có : $ab+bc+ca=0$ $=> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$

$=> \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}  ( áp dụng a^3+b^3+c^3=3abc khi a+b+c= 0)$

$T= abc(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=3$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 18-03-2015 - 22:19

[vda2000]

 

 

Câu 5(5 điểm): Cho $\Delta ABC$ vuông tại A và AB<AC. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh AC($H \in BC$) và M là điểm đối xứng của H qua AB. Tia MC cắt đường tròn ngoại tiếp của $\Delta AHB$ tại P($P\neq M$). Tia HP cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta APC$ tại N($N\neq P$).  Gọi E và K tương ứng là giao  điểm của AB và BC với đường tròn ngoại tiếp $\Delta APC$($E\neq A,K\neq C$).

             a, Chứng minh NE song song với BC.

             b,Chứng minh H là trung điểm của KB.

 

a.Đầu tiên cứ chứng minh: $M$ thuộc đường tròn ngoại tiếp $\Delta AHB$ cho nó chắc ăn

Ta có: $\widehat{NEA}=\widehat{NPA}=\widehat{ABH}$

(Sử dụng góc nội tiếp và góc ngoài tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

$\Rightarrow NE//BC$ (đpcm)

 

b.Ta có: $AC//MH$ cùng $/bot AB$ theo gt.

$\Rightarrow\widehat{ACP}=\widehat{HMP}$ ($2$ góc so le trong)

Lại có $2$ góc nội tiếp: $\widehat{HMP}=\widehat{HAP}$

Do đó, $\widehat{HAP}=\widehat{ACP}$ nên có: $HA$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta APC$ ( bài toán phụ này chắc ai cũng quen rồi )

Ta có phương tích:

$HA^2=HC.HK$

Lại có trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên theo hệ thức lượng, ta có:

$HA^2=HC.HB$

Do đó, $HK=HB$

$\Rightarrow H$ là trung điểm $KB$ (đpcm)

Hình bài làm:

 

[Hoangtheson2611]

Câu 3.1 : n(n+1) chỉ chia 9 dư 0;2;6;3 => n(n+1)+1 chia 9 dư 1;3;4;7

=> n^2 + n + 1 không chia hết cho n với mọi n nguyên 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoangtheson2611: 18-03-2015 - 22:26

[kimchitwinkle]

                                               ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2014-2015

Câu 1(4 điểm): Cho $P=\frac{x^{2}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1}$

                        a, Rút gọn P.

                        b,Tìm Min_P.

Câu 2(4 điểm): 1.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=0$.

                          Tính $T=\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ac}{b^{2}}+\frac{ab}{c^{2}}.$

                        2.Giải phương trình $(2x-1)^{2}=12\sqrt{x^{2}-x-2}+1.$

Câu 3(4 điểm): 1.Chứng minh rằng với mọi n nguyên ta luôn có $n^{2}+n+1$ không chia hết cho 9.

                       2.Cho dãy số 13576193923..., bắt đầu từ chữ số thứ 5, mỗi chữ số bằng hàng đơn vị của tổng bốn chữ số đứng ngay trước nó.

                       Hỏi trong dãy này có chứa cụm chữ số 1234 và 6789 hay không?

Câu 4(3 điểm): Cho a,b,c là các số dương.CMR: $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca.$

Câu 5(5 điểm): Cho $\Delta ABC$ vuông tại A và AB<AC. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh AC($H \in BC$) và M là điểm đối xứng của H qua AB. Tia MC cắt đường tròn ngoại tiếp của $\Delta AHB$ tại P($P\neq M$). Tia HP cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta APC$ tại N($N\neq P$).  Gọi E và K tương ứng là giao  điểm của AB và BC với đường tròn ngoại tiếp $\Delta APC$($E\neq A,K\neq C$).

             a, Chứng minh NE song song với BC.

             b,Chứng minh H là trung điểm của KB.

 Năm nay đề hơi bị dễ  , suy nghĩ một tí là ra liền, chỉ có câu 3.2 là hơi khó chịu một tí   .    

Câu 1: a, P = x - căn (x) + 1

b, Min P = 3/4 <=> x = 1/2

P/s: m.n thông cảm latex ko vào đk 

[HoangVienDuy]

                                               ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2014-2015

Câu 2(4 điểm) 2.Giải phương trình $(2x-1)^{2}=12\sqrt{x^{2}-x-2}+1.$

 

$4x^{2}-4x+1=2\sqrt{4x^{2}-4x-8}.3+1\Leftrightarrow 4x^{2}-4x-8-2\sqrt{4x^{2}-4x-8}+9=1\Leftrightarrow (\sqrt{4x^{2}-4x-8}-3)^{2}=1\Leftrightarrow \sqrt{4x^{2}-4x-8}=4\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-x-2}=2\Leftrightarrow x^{2}-x-6=0\Leftrightarrow$ x=3 hoặc x=-2

[dungtran14]

 Cái đoạn $...\Leftrightarrow \sqrt{4x^{2}-4x-8}=4\Leftrightarrow...$ là bạn còn thiếu trường hợp $\Leftrightarrow (\sqrt{4x^{2}-4x-8}-3)^{2}=1 \Leftrightarrow \sqrt{4x^{2}-4x-8}=2 \Leftrightarrow 4x^{2}-4x-8=4 \Leftrightarrow 2x^{2}-2x-3=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\ x=\frac{1-\sqrt{13}}{2} \end{matrix}\right.$.

[HoangVienDuy]

 Cái đoạn $...\Leftrightarrow \sqrt{4x^{2}-4x-8}=4\Leftrightarrow...$ là bạn còn thiếu trường hợp $\Leftrightarrow (\sqrt{4x^{2}-4x-8}-3)^{2}=1 \Leftrightarrow \sqrt{4x^{2}-4x-8}=2 \Leftrightarrow 4x^{2}-4x-8=4 \Leftrightarrow 2x^{2}-2x-3=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\ x=\frac{1-\sqrt{13}}{2} \end{matrix}\right.$.

quên cái dấu tuyệt đối

[Dinh Xuan Hung]

                                               ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2014-2015

 

Câu 4(3 điểm): Cho a,b,c là các số dương.CMR: $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca.$

 

 Năm nay đề hơi bị dễ  , suy nghĩ một tí là ra liền, chỉ có câu 3.2 là hơi khó chịu một tí   .    

Cách khác

AM-GM:

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+bc\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3b^4c}{bc}}=3ab$

CMTT: $\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ac\geq 3bc$

$\frac{a^3}{b}+\frac{c^3}{a}+ab\geq 3ac$

$\Rightarrow 2\sum \frac{a^3}{b}+\sum ab\geq 3\sum ab\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{b}\geq \sum ab$

 

[Dinh Xuan Hung]

                                               ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2014-2015

 

Câu 3(4 điểm): 1.Chứng minh rằng với mọi n nguyên ta luôn có $n^{2}+n+1$ không chia hết cho 9.

                      

 Năm nay đề hơi bị dễ  , suy nghĩ một tí là ra liền, chỉ có câu 3.2 là hơi khó chịu một tí   .    

Ta có:$n^2+n+1=n^2-n+2n-2+3=(n-1)(n+2)+3$

Ta có:(n+2)-(n-1)=3

$\Rightarrow$ (n+2) và (n-1) cùng chia hết cho 3 hoặc (n+2) và (n-1) chia cho 3 có cùng số dư

TH1:(n+2) và (n-1) cùng chia hết cho 3 $\Rightarrow (n+2)(n-1)\vdots 9$ nhưng 3 không chia hết cho 9 nên (n+2)(n-1) +3 không chia hết cho 9

TH2: (n+2) và (n-1) chia cho 3 có cùng số dư $\Rightarrow (n+2)(n-1)$ không chia hết cho 3 nhưng 3 chia hết cho 3

$\Rightarrow (n+2)(n-1)+3$ không chia hết cho 3 hay $n^2+n+1$ không chia hết cho 9

[PhucLe]

Ta có:$n^2+n+1=n^2-n+2n-2+3=(n-1)(n+2)+3$

Ta có:(n+2)-(n-1)=3

$\Rightarrow$ (n+2) và (n-1) cùng chia hết cho 3 hoặc (n+2) và (n-1) chia cho 3 có cùng số dư

TH1:(n+2) và (n-1) cùng chia hết cho 3 $\Rightarrow (n+2)(n-1)\vdots 9$ nhưng 3 không chia hết cho 9 nên (n+2)(n-1) +3 không chia hết cho 9

TH2: (n+2) và (n-1) chia cho 3 có cùng số dư $\Rightarrow (n+2)(n-1)$ không chia hết cho 3 nhưng 3 chia hết cho 3

$\Rightarrow (n+2)(n-1)+3$ không chia hết cho 3 hay $n^2+n+1$ không chia hết cho 9

Câu này đặt từng trường hợp n=3k, n=3k+1, n=3k+2 là ra rồi mà. (k$\in Z)