Chủ đề này có 27 trả lời

[Phanbalong]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NGHÊ AN 2014-2015 (150 phút )
     
                                                   
  Bài 1. (4 điểm)
  a, Cho hai số tự nhiên a,b thỏa mãn điều kiện  $a^{2}+a=2b^{2}+b$. Chứng minh rằng a-b và a+b+1 đều là các số chính phương
   b,Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 viết được thành tổng của n hợp số nhưng không thể viết thành tổng   của n+1 hợp số                    
  Bài 2.(5 điểm)
a, Giai Phương Trình: $\sqrt{6x-1}+\sqrt{9x^{2}-1}=6x-9x^{2}$
b, Giai Hệ Phương Trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy=2 & & \\ x^{3}+y^{3}=2x+4y& & \end{matrix}\right.$ 
  Bài 3 .( 3 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1. Tìm Max :
   $\sum \frac{1}{a+2b+3}$
  Bài 4.(6 điểm). Cho tam giác ABC có 3 góc nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$ .Trên cung nhỏ BC của đường tròn $\left ( O \right )$ lấy điểm M ( M không trùng với B,C). Gọi D,E,F lần lượt là 3 điểm đối xứng với M qua BC,CA,AB. Chứng Minh :
  a, Ba điểm D,E,F thẳng hàng
  b, $\frac{AB}{MF}+\frac{AC}{ME}=\frac{BC}{MD}$
  Bài 5.(2 điểm) Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc nằm trên cạnh của 1 tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được 1 đường tròn có đường kính bằng $\sqrt{3}$ chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanbalong: 20-03-2015 - 21:40

[HoangVienDuy]

 

                     Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 9 Cấp THCS

                                             Năm học : 2014-2015

                             Môn thi: TOÁN - BẢNG A

                                 Thời gian: 150 phút                                                                                                                    
 

                                                                                                                                                                                                                 Bài 3: (3điểm)

 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : abc=1 . Tì​m giá trị lớn nhất của biểu thức :            

 $\sum \frac{1}{a+2b+3c}$
                                                                                                                                                                                                  

gõ đề sai kìa bạn ơi: 3 chứ ko phải là 3c

vì bạn đăng đề sang topic này nên mình phải coppy bài viết của mình sang để mọi người cùng xem:

câu 3b: đặt $a=x^{2};b=y^{2},c=z^{2}$

ta có: $P=\sum \frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3}=\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+y^{2}+1+2}\leq \sum \frac{1}{2}.\frac{1}{xy+y+1}$

mặt khác vì $x^{2}y^{2}z^{2}=1\Rightarrow xyz=1$. ta dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=1$ từ đó suy ra $P\leq \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 19-03-2015 - 18:46

[HoangVienDuy]

 

                     Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 9 Cấp THCS

                                             Năm học : 2014-2015

                             Môn thi: TOÁN - BẢNG A

                                 Thời gian: 150 phút                                                                                                                    
 

                                                                                                                                                                               Bài 2 : ( 5 điểm )
 a) Giai Phương Trình : 

             $\sqrt{6x-1}+\sqrt{9x^{2}-1} =6x-9x^{2}$ 
 

 

Đặt $\sqrt{6x-1}=a>0. \sqrt{9x^{2}-1}=b>0$. ta có $a-b=a^{2}-b^{2}\Leftrightarrow a-b=(a-b)(a+b)\Leftrightarrow (a-b)(a+b-1)=0$

+với a=b ta có $\sqrt{6x-1}=\sqrt{9x^{2}-1}\Leftrightarrow 6x-1=9x^{2}-1\Leftrightarrow 9x^{2}-6x=0$ suy ra x=0 hoặc x=2/3.

+với a+b=1. ta có.... các bạn tự giải ))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 19-03-2015 - 15:49

[HoangVienDuy]

 

                     Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 9 Cấp THCS

                                             Năm học : 2014-2015

                             Môn thi: TOÁN - BẢNG A

                                 Thời gian: 150 phút                                                                                                                                                                                                                                                                            câu 2:                   

 b) Giai Hệ Phương Trình

             $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2} = xy+2 & & \\ x^{3}+y^{3} =2x+4y & & \end{matrix}\right.$   

 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2} = xy+2 & & \\ x^{3}+y^{3} =2x+4y & & \end{matrix}\right$ từ pt (1) $\Rightarrow x^{2}-xy+y^{2}=2$.thay vào pt (2) ta có $2(x+y)=2x+4y\Leftrightarrow 2y=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 19-03-2015 - 15:58

[vda2000]

vì bạn đăng đề sang topic này nên mình phải coppy bài viết của mình sang để mọi người cùng xem:

câu 3b: đặt $a=x^{2};b=y^{2},c=z^{2}$

ta có: $P=\sum \frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3}$ $=\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+y^{2}+1+2}\leq \sum \frac{1}{2}.\frac{1}{xy+y+1}$

mặt khác vì $x^{2}y^{2}z^{2}=1\Rightarrow xyz=1$. ta dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=1$ từ đó suy ra $P\leq \frac{1}{2}$

Sai rồi bạn ơi, phải là $3z^2$ vì đề là $\sum\frac{1}{a+2b+3c}$

Theo mình thì thêm một bước nữa để trờ về bài giải của @HoangVienDuy

Áp dụng $Cauchy$ với $3$ số dương, ta có:

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ vì $abc=1$

Do đó, $P\leq\sum\frac{1}{b+2c+3}$

Đến đây giống bài giải của bạn rồi, chỉ thay $a\rightarrow b;b\rightarrow c;c\rightarrow a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 19-03-2015 - 18:09

[Ngoc Hung]

Bài 2b: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=xy+2 & \\ x^{3}+y^{3}=2x+4y & \end{matrix}\right.$

Từ phương trình thứ 2 ta có $(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)=2x+4y\Leftrightarrow 2(x+y)=2x+4y\Rightarrow 2y=4y\Leftrightarrow y=0$

Thay y = 0 vào phương trình thứ nhất được $x=\pm \sqrt{2}$

[Ngoc Hung]

Bài 1: a) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện  $a^{2}+a=2b^{2}+b$. Chứng minh rằng a-b và a+b+1 đều là các số chính phương        

Giải: Ta có $a^{2}+a=2b^{2}+b\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}+a-b=b^{2}\Rightarrow (a-b)(a+b+1)=b^{2}$

Tích của hai số là một số chính phương nên hai số a - b và a + b + 1 là các số chính phương

[rainfly22]

 

Bài 1: a) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện  $a^{2}+a=2b^{2}+b$. Chứng minh rằng a-b và a+b+1 đều là các số chính phương        

Giải: Ta có $a^{2}+a=2b^{2}+b\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}+a-b=b^{2}\Rightarrow (a-b)(a+b+1)=b^{2}$

Tích của hai số là một số chính phương nên hai số a - b và a + b + 1 là các số chính phương

Tích 2 số là 1 số chính phương chưa suy ra được 2 số đó chính phương đâu.

Gọi d là ước nguyên tố chung của a-b và a+b+1.

$\left\{\begin{matrix} a-b\vdots d & \\ a+b+1\vdots d & \\ b^{2}\vdots d & \end{matrix}\right.$ mà d nguyên tố

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d & \\ a+b+1\vdots d & \\ a\vdots d & \end{matrix}\right. \Rightarrow 1\vdots d$

=> không có d  thỏa mãn

=> a-b và a+b+1 nguyên tố cùng nhau

=> đpcm

[HoangVienDuy]

Sai rồi bạn ơi, phải là $3z^2$ vì đề là $\sum\frac{1}{a+2b+3c}$

Theo mình thì thêm một bước nữa để trờ về bài giải của @HoangVienDuy

Áp dụng $Cauchy$ với $3$ số dương, ta có:

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ vì $abc=1$

Do đó, $P\leq\sum\frac{1}{b+2c+3}$

Đến đây giống bài giải của bạn rồi, chỉ thay $a\rightarrow b;b\rightarrow c;c\rightarrow a$

tại bạn @phanbalong viết đề sai. ở topic cũ(chỉ có ảnh) đề đúng là 3 chứ ko phải là 3c. chắc gõ latex sai ý mà )

[Dinh Xuan Hung]

tại bạn @phanbalong viết đề sai. ở topic cũ(chỉ có ảnh) đề đúng là 3 chứ ko phải là 3c. chắc gõ latex sai ý mà )

Đúng vậy đó ở TOPIC cũ còn đề thì Bài bất đẳng thức là 

Cho a,b,c dương tm abc=1.Tìm GTLN của $P=\sum \frac{1}{a+2b+3}$

Còn bài hệ cũng sai đề đề đúng là

GHPT:$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy=2 & & \\ x^3+y^3=2x+4y & & \end{matrix}\right.$

[HoangVienDuy]

Đúng vậy đó ở TOPIC cũ còn đề thì Bài bất đẳng thức là 

Cho a,b,c dương tm abc=1.Tìm GTLN của $P=\sum \frac{1}{a+2b+3}$

Còn bài hệ cũng sai đề đề đúng là

GHPT:$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy=2 & & \\ x^3+y^3=2x+4y & & \end{matrix}\right.$

nếu đề bài hpt như vậy thì:

ta có $(1)\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-xy=2-2xy$ thay vào (2) ta có $2(1-xy)(x+y)=2(x+2y)\Leftrightarrow (1-xy)(x+y)=x+2y\Leftrightarrow x+y-x^{2}y-y^{2}x=x+2y\Leftrightarrow y(1+x^{2}+xy)=0$

suy ra y=0 hoặc x²+xy=-1

thay lần lượt vào pt (1) thì xong )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 19-03-2015 - 19:06

[Phanbalong]

xin lỗi các bạn lần đầu đăng còn nhiều sơ suất , 

[viet nam in my heart]

    b) Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 viết được thành tổng của n hợp số nhưng không thể viết thành tổng của n+1 hợp số                                                                                                 

 

Vì mỗi hợp số đều $\geq 4$ nên ta có $n\leq \left [ \frac{2015}{4} \right ]=503$

Nếu n = 503 thì 

Giả sử 2015 viết được thành tổng của 503 hợp số khác 4 thì 503 hợp số này đều $\geq 6$

Khi đó tổng của 503 hợp số này $\geq 503.6=3018>2015$(vô lý)

Do đó trong 503 hợp số này có ít nhất 1 thừa số 4

Gọi số thừa số 4 trong 503 hợp số này là x thì số các thừa số còn lại là 503-x 

Mà chúng đều lớn hơn 4 và là hợp số nên chúng $\geq 6$

Khi đó $2015\geq 4x+6(503-x)\Rightarrow x\geq 502$

Thử x = 502 hoặc x = 503 đều không thỏa mãn

Suy ra 2015 không thể viết được thành tổng của 503 hợp số khác 4

$\Rightarrow n< 503$(1)

Ta có: 2015 = 2015 là hợp số

          2015 = 15 + 2000 là tổng của hai hợp số

          2015=6+9+4+4+...+4(500 số 4)  là tổng của 502 hợp số 

Xét 2000=4+4+...+4(500 số 4) là tổng của 500 hợp số. Mỗi thừa số của tổng đều chia hết cho 4. Do đó lấy tổng của hai thừa số bất kỳ trong tổng đều được 1 hợp số 

Do đó 2000 có thể tách thành tổng của 1,2,...,500 hợp số.

Suy ra 2015 có thể tách thành tổng của 1,2,...,502 hợp số

Nếu n < 502 thì 2015 có thể tách thành tổng n hợp số nhưng cũng tách được thành tổng của n+1 hợp số

Như vậy $n\geq 502$(2)

Từ (1) và (2) thì n chỉ có thể là 502

[huythcsminhtan]

Câu 4  Mình ko biết vẽ hình

a) Mình ko phải làm nữa nhá

b) Gọi giao của AB và FM là N , giao của BC với DM là H , ME với AC là Q

 

Ta có :

 

$\frac{AB}{MF}+\frac{AC}{ME}=(\frac{AN}{MF}-\frac{BN}{FM})+(\frac{AQ}{ME}+\frac{CQ}{ME})=(\frac{AN}{2MN}+\frac{AQ}{2MQ})+(\frac{CQ}{2MQ}-\frac{BN}{2MN})$

 

Dễ dàng chứng minh : $(\frac{CQ}{2MQ}-\frac{BN}{2MN})=0$

 

và $\frac{AN}{2MN}+\frac{AQ}{2MQ}=\frac{CH}{2HM}+\frac{BH}{2HM}=\frac{CB}{DM}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 19-03-2015 - 21:03

[issacband365]

Tích 2 số là 1 số chính phương chưa suy ra được 2 số đó chính phương đâu.

Gọi d là ước nguyên tố chung của a-b và a+b+1.

$\left\{\begin{matrix} a-b\vdots d & \\ a+b+1\vdots d & \\ b^{2}\vdots d & \end{matrix}\right.$ mà d nguyên tố

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d & \\ a+b+1\vdots d & \\ a\vdots d & \end{matrix}\right. \Rightarrow 1\vdots d$

=> không có d  thỏa mãn

=> a-b và a+b+1 nguyên tố cùng nhau

=> đpcm

Bạn giải thích rõ hơn được không

 ^^

[rainfly22]

Bạn giải thích rõ hơn được không

 ^^

bạn cần giải thích chỗ nào

[dogsteven]

đọc lộn đề. mod xóa giúp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 20-03-2015 - 13:23

[issacband365]

bạn cần giải thích chỗ nào

chỗ $b^{2}\vdots d$ ý

[hoaihhbg]

chỗ $b^{2}\vdots d$ ý

vì $ (a-b)(a+b+1)=b^2$, d là ước nguyên tố của a-b,a+b+1 nên có $ b^2\vdots d$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaihhbg: 20-03-2015 - 20:33

[Phanbalong]

ai làm giúp mình câu dirichle.