Chủ đề này có 14 trả lời

[kienln]

Cho X la không gian định chuẩn. E, F là 2 kg tuyến tính con đóng của X. Hỏi
E+F = { u+v / u thuộc E, v thuộc F } có là không gian tuyến tính con đóng của X không? Tại sao?

[emvaanh]

Với giả thiết sau sẽ suy ra được E+F là không gian con đóng của X
i) {0}
ii) E hoặc F compac địa phương
Còn câu hỏi này, tôi nghĩ câu trả lời là không chắc E+F là kg con đóng của X.
Tức là có vd E, F là kg con đóng của X mà E+F không đóng trong X. Tuy nhiên nhất thời tôi chưa nghĩ ra nữa...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 14-04-2006 - 21:49

[be2yes]

Nêu E hoặc F hữu hạn chiều thì E+F cũng đóng.
Quả thật với tôi đây là bài khó

[toilachinhtoi]

Tôi nghĩ đây là phản thí dụ (Tôi chưa kiểm tra kĩ)

Xét X là không gian véc tơ gồm các hàm số thực liên tục http://dientuvietnam...^x,1,x,x^2,.... Nếu
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P(x)=P(-x) và F là không gian các đa thức lẻ: http://dientuvietnam...imetex.cgi?P(-x)=-P(x).

Khi đó E và F đóng trong X.

Một người bạn của tôi cho biết là trong cuốn Functional analysis của Rudin có một phản thí dụ.

[hoadaica]

cái này nhìn vào thì có lẽ sai. nếu viết E+F= hợp của tất cả các tập đóng {E+x, x thuộc F}. Có điều hợp vô hạn của các tập đóng thì chưa chắc đóng, vậy thôi. Ví dụ là nếu hợp vô hạn của các đoạn [-n,n] thì ta có tập R. Nhưng R thì không phải tập đóng rồi.
Nếu một trong 2 là compact thì tổng của nó sẽ là tập đóng. Kiểm tra không khó!

[Nameless]

Anh hoadaica nhầm rồi, sao R lại không đóng ạ ?

[kienln]

Thành thật cảm ơn mọi người rất nhiều
Thực sự đối với tôi đây là một bài khó và tôi sẽ suy nghĩ về những gợi ý của các bạn. Nhất là bạn toilachinhtoi.

[Tran Dinh Thanh]

Tôi nghĩ đây là phản thí dụ (Tôi chưa kiểm tra kĩ)

Xét X là không gian véc tơ gồm các hàm số thực liên tục http://dientuvietnam...x,1,x,x^2,....  Nếu
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P(x)=P(-x) và F là không gian các đa thức lẻ: http://dientuvietnam...imetex.cgi?P(-x)=-P(x).

Khi đó E và F đóng trong X.

Một người bạn của tôi cho biết là trong cuốn Functional analysis của Rudin có một phản thí dụ.

Ví dụ này chưa đúng.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E không đóng trong http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X

[Tran Dinh Thanh]

Cho X la không gian định chuẩn. E, F là 2 kg tuyến tính con đóng của X. Hỏi
E+F = { u+v / u thuộc E, v thuộc F } có là không gian tuyến tính con đóng của X không? Tại sao?

Thử xem chứng minh này:
Vì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\|x_n\| trích ra được dãy con http://dientuvietnam...mimetex.cgi?E,F tuyến tính nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{z_n\} hội tụ nên bị chặn).
Mặt khác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{x_n}{\|x_n\|} bị chặn và http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?E đóng nên có thể trích ra một dãy con hội tụ http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?F đóng suy ra http://dientuvietnam...metex.cgi?x_0=0 điều này là không thể vì
.
Từ đó suy ra đóng.

[toilachinhtoi]

Chứng minh của bạn sử dụng tính chất compact của E và F (nhưng không đựoc giả thiết).

Thực ra trong Functional Analysis của Rudin có một bài tập cho một phản thí dụ của bài này.

[pizza]

Mình xóa bài .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 04-05-2006 - 00:17

[đoàn chi]

Mặt khác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{x_n}{\|x_n\|} bị chặn và http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?E đóng nên có thể trích ra một dãy con hội tụ .

Đúng là phần lập luận này không ổn. Bạn toilachinhtoi tinh mắt thật.

[bookworm_vn]

đoàn chi đính chính đi xem nào?

[Tran Dinh Thanh]

Mặt khác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{x_n}{\|x_n\|} bị chặn và http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?E đóng nên có thể trích ra một dãy con hội tụ .

Đúng là phần lập luận này không ổn. Bạn toilachinhtoi tinh mắt thật.

Đúng là phần này chưa ổn. Ví dụ không thể trích ra dãy con nào hội tụ.

[Tran Dinh Thanh]

Ví dụ như sau: (Rudin trang 131)
Cho http://dientuvietnam...metex.cgi?e_n(t)=e^{int}
Với không gian định chuẩn http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A là không gian con đóng nhỏ nhất của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B là không gian con đóng nhỏ nhất của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A B trù mật trong nhưng khác nên không đóng.

Ví dụ này có vẻ giống với ví dụ tổng 2 tập đóng không đóng.