Chủ đề này có 1 trả lời

[tra81]

Tìm tất cả các hàm số $f:{R^ + } \to {R^ + }$ thỏa mãn điều kiện: 

$f\left( {1 + y.f\left( x \right)} \right) = x.f\left( {x + y} \right),\forall x,y \in {R^ + }$

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm số $f:{R^ + } \to {R^ + }$ thỏa mãn điều kiện: 

$f\left( {1 + y.f\left( x \right)} \right) = x.f\left( {x + y} \right),\forall x,y \in {R^ + }$

Bài này nhìn quen quen.

Giả sử $x>1$ mà $f(x)>1$ ta cho $y=\dfrac{1-x}{1-f(x)}$

Ta có $x+y=1+yf(x)$ thay vào ta thấy $f(x+y)=f(1+yf(x))=xf(x+y)\Rightarrow f(x+y)=0$ vô lí.

Nên $x>1\Rightarrow f(x)\leq 1$

Ta có $xf(x+y)=f(1+yf(x))\leq 1$

$\Rightarrow f(x+y)\leq \dfrac{1}{x}$

Từ đó ta có thể chứng minh $f(x)\leq \dfrac{1}{x}$

Cho $y=\dfrac{1}{f(x)}$

Ta có $\dfrac{f(2)}{x}=f(x+\dfrac{1}{f(x)}) \leq \dfrac{1}{x+\frac{1}{f(x)}}$

$\Rightarrow f(x)\geq \dfrac{f(2)}{1-f(2)} \cdot \dfrac{1}{x}$

Ta cũng có $\dfrac{f(2)}{x}=f(x+\dfrac{1}{f(x)}) \geq \dfrac{f(2)}{1-f(2)} \cdot \dfrac{1}{x+\frac{1}{f(x)}}$

$\Rightarrow f(x)\leq \dfrac{f(2)}{1-f(2)} \cdot \dfrac{1}{x}$

$\Rightarrow f(x)=\dfrac{f(2)}{1-f(2)} \cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{c}{x}$

Thay vào phương trình đầu dễ tìm được $c=1$

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\dfrac{1}{x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 21-03-2015 - 18:41