Chủ đề này có 30 trả lời

[bestmather]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. CMR:

$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bestmather: 21-03-2015 - 20:31

[yeudiendanlamlam]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. CMR:

$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

theo mình nghĩ phải là $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$ mới đúng

[NoHechi]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. CMR:

$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

  Đề đúng rồi ,mình đăng tìm cách loại abc ở mẫu,loại rồi nó được đẳng thức  nhưng hóc quá trời

[Minh Blues1]

Đề đúng rồi ,mình đăng tìm cách loại abc ở mẫu,loại rồi nó được đẳng thức  nhưng hóc quá trời

$\frac{1}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2a}$
$\frac{1}{b^{2}+1}\leq\frac{1}{2b}$
$\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2c}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(1)$
$ab+bc+ac=3\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}(2)$
Từ (1) và (2) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2abc}(*)$
Vì a,b,c>0 nên $\frac{3}{2abc}\leq \frac{3}{2}(**)$ 
Từ (*)và (**) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minh Blues1: 22-03-2015 - 21:58

[shinichikudo201]

$\frac{1}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2a}$
$\frac{1}{b^{2}+1}\leq\frac{1}{2b}$
$\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2c}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(1)$
$ab+bc+ac=3\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}(2)$
Từ (1) và (2) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2abc}(*)$
Vì a,b,c>0 nên $\frac{3}{2abc}\leq \frac{3}{2}(**)$ 
Từ (*)và (**) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$

[NoHechi]

       Đúng đấy ,Chỗ ấy có vấn đề do a,b,c cùng lớn hơn không  -> $\frac{3}{2abc}>\frac{3}{2}(**)$  nó không bằng được bạn ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NoHechi: 23-03-2015 - 19:26

[Nguyen Duc Phu]

$\sum \frac{1}{a^2+1}= \sum 1-\frac{a^2}{a^2+1}\geq \sum 1-\frac{a^2}{2a}= 3-\frac{3(a+b+c)}{2}$

Mà $\frac{(a+b+c)^2}{3}\geq ab+bc+ca=3$ $\Leftrightarrow a+b+c\geq 1$(Dùng biến đổi tương đương để chứng minh)

$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Phu: 23-03-2015 - 20:57

[congdaoduy9a]

$\sum \frac{1}{a^2+1}= \sum 1-\frac{a^2}{a^2+1}\geq \sum 1-\frac{a^2}{2a}= 1-\frac{3(a+b+c)}{2}$

Mà $\frac{(a+b+c)^2}{3}\geq ab+bc+ca=3$ $\Leftrightarrow a+b+c\geq 3$(Dùng biến đổi tương đương để chứng minh)

$\Rightarrow$ đpcm

Hình như bị ngược dấu rồi bạn coi lại thử xem vì $\frac{-3(a+b+c)}{2}$ sẽ thành dấu $\leq$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 23-03-2015 - 20:40

[ngutoanso1]

áp dụng bđt $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1} \geq \frac{2}{ab+1}$

tương tự cho các hoán vị còn lại

suy ra P nhớn hơn hoặc bằng $\sum \frac{1}{ab+1}$

tiếp tục dùng svac là ra thôi

[hoanglong2k]

áp dụng bđt $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1} \geq \frac{2}{ab+1}$

tương tự cho các hoán vị còn lại

suy ra P nhớn hơn hoặc bằng $\sum \frac{1}{ab+1}$

tiếp tục dùng svac là ra thôi

Bạn có chắc là $ab,bc,ca$ đều $\geq 1$ không, nếu không thì bđt sai nhé

[ngutoanso1]

 

$\frac{1}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2a}$
$\frac{1}{b^{2}+1}\leq\frac{1}{2b}$
$\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2c}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(1)$
$ab+bc+ac=3\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}(2)$
Từ (1) và (2) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2abc}(*)$
Vì a,b,c>0 nên $\frac{3}{2abc}\leq \frac{3}{2}(**)$ 
Từ (*)và (**) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$

 

thêm vào một xí là ổn : 3=ab+bc+ca nhớn hơn hoặc bằng $3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$ suy ra abc bé hơn hoặc bằng 1 , thế là chỗ đỏ đúng ròi

vậy thì đề lớn hơn hay bé hơn 3/2 là đúng đây ? loạn xì ngầu thế này làm sao giải đc

[ngutoanso1]

ban minh blues giải đúng rồi, thiếu một xí thôi

[hoanglong2k]

Đúng thế nào được, nếu $abc\leq 1$ thì bất đẳng thức ngược dấu rồi

[NoHechi]

thêm vào một xí là ổn : 3=ab+bc+ca nhớn hơn hoặc bằng $3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$ suy ra abc bé hơn hoặc bằng 1 , thế là chỗ đỏ đúng ròi

vậy thì đề lớn hơn hay bé hơn 3/2 là đúng đây ? loạn xì ngầu thế này làm sao giải đc

 Theo mình là lớn hơn vì nó là đề thi HSG huyện mình ( năm kia thì phải )

Còn chỗ đỏ là sai mà .Do abc lớn hơn không thì lấy đâu được bằng chứ

[hoanglong2k]

Tớ thử đưa ra ý tưởng này, mọi người cùng thử giải nhé ( không biết có được không )

Do $ab+bc+ca=3$ nên trong 3 số $ab,bc,ca$ sẽ có 1 số $\geq 1$

Giả sử là $ab$

Mà $ab+bc+ca=3\Leftrightarrow c=\frac{3-ab}{a+b}$

Khi đó ta có: 

$VT\geq \frac{2}{1+ab}+\frac{1}{(\frac{3-ab}{a+b})^2+1}=\frac{2}{1+ab}+\frac{(a+b)^2}{(3-ab)^2+(a+b)^2}$

Đến đây tớ chưa biết làm ntn

[ngutoanso1]

Đúng thế nào được, nếu $abc\leq 1$ thì bất đẳng thức ngược dấu rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngutoanso1: 23-03-2015 - 22:39

[ngutoanso1]

 Theo mình là lớn hơn vì nó là đề thi HSG huyện mình ( năm kia thì phải )

Còn chỗ đỏ là sai mà .Do abc lớn hơn không thì lấy đâu được bằng chứ

thế bạn có lời giải không

[ngutoanso1]

Có mình giải rồi,bữa thi xin thầy bảo tự làm nên cũng phó tay thôi Hix

bạn giải ở đây đi cho mọi người cùng xem

[NoHechi]

bạn giải ở đây đi cho mọi người cùng xem

 

Mình nghĩ vậy nè ,thử coi đúng không nhé:

   Ta có $\frac{1}{a^{2}+1}=1-\frac{a^{2}}{a^{2}+1}\geq 1-\frac{a}{2}$

 tương tự như vậy ta được $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq 3-\frac{ab+bc+ca}{2}=(ab+bc+ca)(1-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$

          P/s:     Mình cũng làm tương tự bạn Nguyen Duc Phu thôi ,bạn ấy làm vậy gần ra rồi nhưng nhầm chút ít nên mình phát triển tiếp,với lại ý tưởng không phải mình nghĩ ra mà ro được được cái này :Chuyên đề Cauchy ngược dấu

             SAi đâu mọi người chỉ bảo

[daotuanminh]

Mình nghĩ vậy nè ,thử coi đúng không nhé:

   Ta có $\frac{1}{a^{2}+1}=1-\frac{a^{2}}{a^{2}+1}\geq 1-\frac{a}{2}$

 tương tự như vậy ta được $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq 3-\frac{ab+bc+ca}{2}=(ab+bc+ca)(1-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$

          P/s:     Mình cũng làm tương tự bạn Nguyen Duc Phu thôi ,bạn ấy làm vậy gần ra rồi nhưng nhầm chút ít nên mình phát triển tiếp,với lại ý tưởng không phải mình nghĩ ra mà ro được được cái này :Chuyên đề Cauchy ngược dấu

             SAi đâu mọi người chỉ bảo

Sao lại thế vậy!