Cho tam giác ABC vuông (AB > AC) và M nằm trên đoạn thẳng AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ 2 của BC và MB với đường tròn đường kính MC,gọi S là giao điểm thứ 2 giữa AD với đường tròn đường kính MC,T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh
a) Chứng minh CM là phân giác của $\widehat{BCS}$
b) Chứng minh rằng $\frac{TA}{TD}=\frac{TC}{TB}$
a) Ta có: $\widehat{BAC}=90^{\circ}; \widehat{BDC}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC)
$\Rightarrow A,D$ cùng nhìn BC dưới 1 góc = $90^{\circ}$
$\Rightarrow $ ABCD là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{BDA}=\widehat{BCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
MÀ $\widehat{BDA}=\widehat{MCS}$ (góc ngoài tại đỉnh D của tứ giác nội tiếp DMCS)
$\Rightarrow \widehat{NCM}=\widehat{MCS}$
$\Rightarrow CM$ là phân giác của $\widehat{BCS}$.
b) Ta có : $\widehat{TNC}= 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{BTN}=\widehat{BCA}$ (cùng phụ với góc B)
Mà $\Rightarrow \widehat{BDA}=\widehat{BCA}$ (cmt)
$\Rightarrow \widehat{ATM}=\widehat{ADM}$
$\Rightarrow$ tứ giác AMDT nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{MDT}=180^{\circ}-\widehat{MAT}=90^{\circ}$
$\Rightarrow T,D,C$ thẳng hàng (do $\widehat{MDC}=90^{\circ}$)
XÉT $\bigtriangleup ADT$ và $\bigtriangleup CBT$ có:
$\widehat{BTC}$ chung;
$\widehat{ADT}=\widehat{TBC}$ (góc ngoài tại đỉnh D của tứ giác nội tiếp ABCD)
$\bigtriangleup ADT \sim \bigtriangleup CBT (g.g)$
$\Rightarrow \frac{TA}{TC}=\frac{TD}{TB}\Rightarrow$ đpcm
P/s: mình loay hoay vẽ hình mãi nhưng ko tài nào đưa lên được, mọi người đọc có gì ko hiểu thì có thể góp ý.