Chủ đề này có 3 trả lời

[luuvanthai]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR $P=a(b-c)^{4}+b(c-a)^{4}+c(a-b)^{4}\leq \frac{1}{12}$

[25 minutes]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR $P=a(b-c)^{4}+b(c-a)^{4}+c(a-b)^{4}\leq \frac{1}{12}$

Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên có thể giả sử cho $1\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant 0$

Do đó $P\leqslant a(b+c)^4+a^4b+a^4c=a(b+c)^4+(b+c)a^4$

Đặt $b+c=t, t+a=1$, ta có

                           $P\leqslant at^4+a^4t=at(a^3+t^3)=at(1-3at)\leqslant \frac{1}{12}$

                    $\Leftrightarrow (6at-1)^2\geqslant 0$

Vậy ta có đcpm

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\c=0 \\at=a(b+c)=ab=\frac{1}{6} \end{matrix}\right.$

[rootsvr]

 

Do đó $P\leqslant a(b+c)^4+a^4b+a^4c=a(b+c)^4+(b+c)a^4$

 

Anh giải thích giúp em dòng này được không

[halloffame]

rootsvr: Vì ta giả sử $b \geq c$ nên $b-c \geq 0.$ Mặt khác $c \geq 0$ nên $b+c \geq b-c \geq 0 \rightarrow (b+c)^{4} \geq (b-c)^{4} \rightarrow a(b+c)^{4} \geq a(b-c)^{4} (a \geq 0) .$

               Tương tự rồi cộng lại sẽ có $P \leq a(b+c)^{4} + (b+c)a^{4}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 05-04-2015 - 23:39