Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12, 2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 mathbg

mathbg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-03-2015 - 19:38

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12  (20/3/2015)

 

TỈNH BẮC GIANG

 

 

Câu 1. Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{2x-1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng $d: 2x+3y-1=0$ một góc $45^0$.

 

Câu 2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=mx^3-3mx^2+(2m+1)x+3-m$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{4}\right)$ đến đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất.

 

Câu 3. Cho đa giác đều $(H)$ có $n$ đỉnh ($n\in\Bbb{N}, n>4$). Tìm $n$, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$.

 

Câu 4. Tính tích phân $I=\int\limits_1^2\dfrac{\ln x-1}{x^2-\ln^2x}\;\mathrm{d}x$.

 

Câu 5. Giải phương trình $(1+x)(2+4^x)=3.4^x$

 

Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều tâm $O$. Hình chiếu vuông góc của $C'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với $O$. Biết khoảng cách từ $O$ đến $CC'$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và $(BCC'B')$ bằng $60^0$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $CC'$ và $AB'$.

 

Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y-2z-5=0$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+3}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$, song song với $d$ và cách $d$ một khoảng bằng $\sqrt{14}$.

 

Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(3;3)$, đường phân giác trong của góc $A$ có phương trình $x-y=0$. Điểm $I(2;1)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C$ biết rằng $BC=\dfrac{8}{\sqrt5}$ và góc $\widehat{BAC}$ nhọn.

 

Câu 9. Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{xy}-\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\\ 2015^{3x-y-1}+x-3y+1=\sqrt{4x^2-4y+2}\end{cases}$

 

Câu 10. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab=2(a+b)c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{c^2}{(a+b-c)^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$.



#2 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 29-03-2015 - 08:56

 

 

 

Câu 10. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab=2(a+b)c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{c^2}{(a+b-c)^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$.

 

Lời giải câu 10 : Nguồn copy :))Untitledbat dang thuc bac giang.png



#3 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 15-12-2015 - 21:57

Câu 1. Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{2x-1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng $d: 2x+3y-1=0$ một góc $45^0$.

 

 

Ta có:

$$\left ( \frac{x+2}{2x-1} \right )'=-\frac{5}{(2x-1)^2}<0, \quad \forall x \neq \frac{1}{2}$$

Dễ thấy hệ số góc của $d$ là $-\frac{2}{3}$. Gọi $k<0$ là hệ số góc của tiếp tuyến, ta có:

$$ \left| {\frac{{k + \frac{2}{3}}}{{1 - \frac{{2k}}{3}}}} \right| =1 \Leftrightarrow k =-5$$
 

Với $k=-5$, ta có hoành độ tiếp điểm $x_1=0, x_2=1$. Từ đó, ta có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$$y=-5x-2; \quad y=-5x+8$$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 15-12-2015 - 23:09

Câu 2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=f(x) = mx^3-3mx^2+(2m+1)x+3-m$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{4}\right)$ đến đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất

 

TXĐ: $\mathbb{R}$.

Ta có:

$$f'(x) = 3mx^2-6mx + 2m+1$$

Hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với:

$$\begin{cases} m \neq 0\\  \Delta ' = 9m^2-3m(2m+1)> 0 \end{cases} \Leftrightarrow  m \in (- \infty ; 0) \cup (1; +\infty)$$

Chia $f(x)$ cho $f'(x)$, ta có:
$$f(x)=\left ( \frac{x}{3}-\frac{1}{3} \right )f'(x)+\left ( -\frac{2m}{3} +\frac{2}{3}\right )x+\frac{10}{3}-\frac{m}{3}$$
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
$$ \left ( -\frac{2m}{3} +\frac{2}{3}\right )x+\frac{10}{3}-\frac{m}{3} \Leftrightarrow 2(1-m)x-3y+10-m=0$$
Dễ thấy đường thẳng $AB$ luôn đi qua điểm $C\left ( -\frac{1}{2};3 \right )$. Do đó: 
$$d_{(I,AB)}\leq IC$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$AB \bot IC \Leftrightarrow  3.1 + \frac{3}{4}.2(1-m) = 0 \Leftrightarrow m = 3 \quad \text{(thỏa mãn)}$$
Vậy $m=3$ là đáp án của bài toán

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#5 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 17-12-2015 - 23:04

 

Câu 3. Cho đa giác đều $(H)$ có $n$ đỉnh ($n\in\Bbb{N}, n>4$). Tìm $n$, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$.

 

 

Số tam giác có $3$ đỉnh là đỉnh của $(H)$ là $C_n^3$.

Ứng với mỗi đỉnh của $(H)$ có 1 tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng hai cạnh là cạnh của $(H)$. Vậy số tam giác loại này là $n$.

Với mỗi cạnh của $(H)$, ta có thể chọn 1 trong số $n-4$ đỉnh của $(H)$ để tạo thành một tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của $(H)$. Do đó số tam giác loại này là $n(n-4)$.

Số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ là: $C_n^3-n-n(n-4)$

Theo giả thiết:

$$C_n^3-n-n(n-4) = 5n(n-4)$$

Giải phương trình trên với điều kiện $n > 4$ ta được $n=35$.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#6 phuongtrinh2988

phuongtrinh2988

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dân vùng 38
  • Sở thích:Đá bóng,đọc sách

Đã gửi 23-12-2015 - 20:57

Câu 6 hình không gian có sai đề không nhỉ?


Nguyễn Trần Phương Trình


#7 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 26-12-2015 - 22:19

Câu 5.

Dễ thấy $x=0;x=\frac{1}{2},x=1$ thỏa mãn phương trình.

Phương trình đã cho tương đương với:

$$\frac{3.4^x}{2+4^x} -x - 1 = 0$$

Xét hàm số $f(x) = \frac{3.4^x}{2+4^x} -x - 1$.

Ta có $f'(x)=\frac{-4^{2x}+(6\ln 4 - 4)4^x  - 4 }{(2+4^x)^2}.$ Phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $a,b$. Ta có bảng biến thiên của hàm số $f(x)$. Dựa vào BBT ta thấy phương trình đã cho có tối đa 3 nghiệm.

 

Vậy phương trình có đúng ba nghiệm $x=0;x=\frac{1}{2},x=1$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#8 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 27-12-2015 - 00:13

Câu 6. 

A.png

 

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $CC'$. Ta có $OH=a$.

Đường thẳng đi qua $O$ và song song với $AB$, cắt $CB,CA$ lần lượt tại $K,J$.

Khi đó $CC' \bot (HJK)$. Suy ra $\widehat{KHJ}$ bằng hoặc bù với góc giữa hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và $(BCC'B')$. Dễ thấy $\widehat{KHJ} > \widehat{ACB}=60^o$ nên $\widehat{KHJ}   = 120^0 = 2\alpha$,

$$AB=\frac{3}{2}JK = 3a\tan \alpha$$

$$\frac{1}{C'O^2} = \frac{1}{OH^2} - \frac{1}{OC^2} = \frac{1}{a^2}-\frac{1} {3a^2\tan^2\alpha}=\frac{3\tan^2\alpha-1}{3a^2\tan^2\alpha}$$

$\Rightarrow h = C'O = \frac{a\sqrt{3}\tan \alpha}{\sqrt{3\tan^2\alpha-1}}$

Vậy 

$$V_{ABC.A'B'C'} = \frac{\sqrt{3}}{4}.9a^2\tan^2 \alpha. \frac{a\sqrt{3}\tan \alpha}{\sqrt{3\tan^2\alpha-1}} = \frac{27a^3\tan^3 \alpha}{4\sqrt{3\tan^2\alpha-1}} = \frac{81a^3\sqrt{6}}{16}$$

 

Gọi $D,F$ lần lượt là trung điểm $AB,A'B'$. Dễ thấy $DF$ là hình chiếu của $CC'$ lên $(ABB'A')$.

 

$$d_{(CC',AB')} = d_{CC',(ABB'A'))} = d_{(CC',DF)}= \frac{3}{2}HO=\frac{3a}{2}$$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#9 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 27-12-2015 - 14:40

Câu 7

Dễ thấy đường thẳng $d$ đi qua $M(2;3;-3)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{n}=(4;2;1)$. Ta chỉ cần tìm điểm đi qua của $\Delta$. Giả sử điểm $A(a;b;c) \in \Delta$ sao cho $MA=\sqrt{14}$. Vì $A \in (P), \overrightarrow{MA}\bot \overrightarrow{n}$, nên:

 $$\begin{cases}(a-2)^2+(b-3)^2+(c+3)^2=14 \\ 4(a-2)+2(b-3)+(c+3)=0 \\ a-b-2c-5=0\end{cases}$$

Giải hệ phương trình ta tìm được $A$.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#10 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-12-2015 - 15:11

Hướng dẫn các câu còn lại:

Câu 4. Chia cả tử và mẫu cho $x^2$. Ta được $\int \frac{1}{\left ( \frac{\ln x}{x} \right )^2-1}d\left ( \frac{\ln x}{x} \right )$

Câu 8. Viết được PT đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đường tròn cắt đường phân giác tại $D$. Vì $BC \bot ID$ nên chỉ cần tìm 1 điểm trên $BC$ là xong. Dựa vào độ dài $BC$ và $IA$ ta tính được điểm đó.

 

Câu 9: PT 1 của hệ giải bằng đánh giá, thu được $x=y$. 

Thay vào phương trình 2, giải bằng phương pháp hàm số $x=y= \frac{1}{2}$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#11 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1021 Bài viết

Đã gửi 17-02-2020 - 13:57






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh