Chủ đề này có 5 trả lời

[onepiecekizaru]

$cho 0\leq x\leq 2 ,0\leq y\leq 2 CMR x^{2}+y^{2} \leq 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onepiecekizaru: 23-03-2015 - 23:28

[huuhieuht]

Hình như đề sai rồi bạn ạ

[Ngoc Hung]

$cho 0\leq x\leq 2 ,0\leq y\leq 2 CMR x^{2}+y^{2} \leq 5$

Nếu x = y = 2 thì $x^{2}+y^{2}=8> 5$

[onepiecekizaru]

xin lỗi các bạn nhé ! đề bài phải là: $cho 0\leq x\leq 2 ,0\leq y\leq 2, x+y=3 .CMR: x^{2}+y^{2}\leq 5$

[nangcuong8e]

xin lỗi các bạn nhé ! đề bài phải là: $cho 0\leq x\leq 2 ,0\leq y\leq 2, x+y=3 .CMR: x^{2}+y^{2}\leq 5$

 Đặt $x=1+a$ và $y=1+b$ thì ta có $-1 \leq a,b \leq 1$ và $a+b=1$,do đó ta có:
$A= x^2+ y^2 =(1+a)^2 +(1+b)^2 =a^2 +b^2 +2(a+b) +2 =a^2 +b^2 +4$ (do $a+b=1$)
 Mà $a+b=1 \Leftrightarrow a=1-b$, thay vào $A$, ta có:

$A= (1-b)^2 +b^2 +4 =2b^2 -2b +5$
Lại có: Do $-1 \leq b \leq 1$ hay $|b| \leq 1 \Rightarrow b^2 \leq |b| \Rightarrow 2b^2 \leq 2|b|$
 Do đó $2b^2 -2b \leq 0 \Rightarrow A \leq 0+5 =5$
   Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow b=1;a=0 \Leftrightarrow y=2;x=1$

[huuhieuht]

Cách khác nè

 Từ GT suy ra: $(2-x)(2-y)\geq 0\Rightarrow 4+xy\geq 2(x+y)=6\Rightarrow xy\geq 2$ Do đó:

$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=9-2xy\leq 9-2.2=5$

 Đẳng thức xảy ra khi x=1;y=2 và hoán vị