tìm các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn
$f\left ( m+f(n) \right )=f\left ( f(m) \right )+f(n),\forall m,n\in \mathbb{N}$
U-Th
tìm các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn
$f\left ( m+f(n) \right )=f\left ( f(m) \right )+f(n),\forall m,n\in \mathbb{N}$
U-Th
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
tìm các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn
$f\left ( m+f(n) \right )=f\left ( f(m) \right )+f(n),\forall m,n\in \mathbb{N}$
U-Th
$f(n)=0$ là một hàm thỏa mãn. Ta tìm hàm nữa.
Cho $m=n=0$ ta có $f(0)=0$
Cho $m=0$ ta có $f(f(n))=f(n)$
Suy ra $f(m+f(n))=f(m)+f(n)$
Cho $T$ là tập giá trị khác không của $f$ ta có $t\in T\Rightarrow f(t)=t$
Giả sử ta có $k=min {T}$ ta có $f(k)=k$
Cho $n=k$ ta có $f(m+k)=f(m)+k$
Bằng quy nạp ta có thể chứng minh $ f(m+pk)=f(m)+pk$, suy ra $f(pk)=pk$
Với các số $0<a<k$ nếu $f(a)=qk+b$ mà $0<b<k$
Ta có $qk+b=f(a)=f(f(a))=f(qk+b)=qk+f(b)$
$\Rightarrow f(b)=b$ mâu thuẫn với điểu giả sử trên.
Nên $f(a)=qk$
Từ đây có thể xác định hàm kiểu này
$f(0)=0,f(a)=g(a)k$ ($g$ có tập giá trị là $N$)
$f(nk+a)=nk+f(a)$
giải thế thôi
$f(n)=0$ là một hàm thỏa mãn. Ta tìm hàm nữa.
Cho $m=n=0$ ta có $f(0)=0$
Cho $m=0$ ta có $f(f(n))=f(n)$
Anh ơi cho em hỏi tại sao từ bước này không suy ra luôn hàm $f(n)=n$ ạ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KnightA0: 26-07-2015 - 18:14
$f(n)$ chưa chắc đã đơn ánh nên không thể suy ra thế được.
Vậy cho mình hỏi làm sao để nhận biết được một hàm là đơn ánh ( hoặc song ánh, toàn ánh) khi giải pt hàm vậy?
Vậy cho mình hỏi làm sao để nhận biết được một hàm là đơn ánh ( hoặc song ánh, toàn ánh) khi giải pt hàm vậy?
Nếu chứng minh được $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$ thì $f$ đơn ánh.
Còn cách nhận biết song ánh đơn giản nhất là $f(f(x))=ax+b$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh