Chủ đề này có 5 trả lời

[nhungvienkimcuong]

tìm các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn

$f\left ( m+f(n) \right )=f\left ( f(m) \right )+f(n),\forall m,n\in \mathbb{N}$

 

U-Th

[Idie9xx]

tìm các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn

$f\left ( m+f(n) \right )=f\left ( f(m) \right )+f(n),\forall m,n\in \mathbb{N}$

 

U-Th

$f(n)=0$ là một hàm thỏa mãn. Ta tìm hàm nữa.

Cho $m=n=0$ ta có $f(0)=0$

Cho $m=0$ ta có $f(f(n))=f(n)$

Suy ra $f(m+f(n))=f(m)+f(n)$

Cho $T$ là tập giá trị khác không của $f$ ta có $t\in T\Rightarrow f(t)=t$

Giả sử ta có $k=min {T}$ ta có $f(k)=k$

Cho $n=k$ ta có $f(m+k)=f(m)+k$

Bằng quy nạp ta có thể chứng minh $ f(m+pk)=f(m)+pk$, suy ra $f(pk)=pk$

Với các số $0<a<k$ nếu $f(a)=qk+b$ mà $0<b<k$

Ta có $qk+b=f(a)=f(f(a))=f(qk+b)=qk+f(b)$

 $\Rightarrow f(b)=b$ mâu thuẫn với điểu giả sử trên.

Nên $f(a)=qk$

Từ đây có thể xác định hàm kiểu này

$f(0)=0,f(a)=g(a)k$ ($g$ có tập giá trị là $N$)

$f(nk+a)=nk+f(a)$

giải thế thôi

[KnightA0]

$f(n)=0$ là một hàm thỏa mãn. Ta tìm hàm nữa.

Cho $m=n=0$ ta có $f(0)=0$

Cho $m=0$ ta có $f(f(n))=f(n)$

 

 

Anh ơi cho em hỏi tại sao từ bước này không suy ra luôn hàm $f(n)=n$ ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KnightA0: 26-07-2015 - 18:14

[Changg Changg]

Anh ơi cho em hỏi tại sao từ bước này không suy ra luôn hàm $f(n)=n$ ạ?

$f(n)$ chưa chắc đã đơn ánh nên không thể suy ra thế được.

[KnightA0]

$f(n)$ chưa chắc đã đơn ánh nên không thể suy ra thế được.

Vậy cho mình hỏi làm sao để nhận biết được một hàm là đơn ánh ( hoặc song ánh, toàn ánh) khi giải pt hàm vậy?

[Changg Changg]

Vậy cho mình hỏi làm sao để nhận biết được một hàm là đơn ánh ( hoặc song ánh, toàn ánh) khi giải pt hàm vậy?

Nếu chứng minh được $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$ thì $f$ đơn ánh.

Còn cách nhận biết song ánh đơn giản nhất là $f(f(x))=ax+b$