Chủ đề này có 16 trả lời

[marcoreus101]

[huythcsminhtan]

                                  KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG

                                                  LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015
                                                      MÔN THI : TOÁN (150 PHÚT)

 

 

Câu 1 

a) Tình giá trị biểu thức $A=2x^3+3x^2-4x+2$

với $ x= \sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}+\sqrt{2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-1$

 

b) Cho x,y thỏa mãn :

 

$\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{y+2014}+\sqrt{2015-y}-\sqrt{2014-y}$

 

Chứng minh $x=y$

 

Câu 2

 

a) Giải phương trình $x^3+(x+1)\sqrt{x+1}+2\sqrt{2}=(x+\sqrt{x+1}+\sqrt{2})^3$

 

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}3x^2+xy-4x+2y=2 & \\  x(x+1)+y(y+1)=4 & \end{matrix}\right.$

 

Câu 3

a) Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $2 p^2-1;2p^2+3;3p^2+4$ đều là số nguyên tố 

b)Tìm các số nguyên dương $ x,y,z $ thỏa mãn $ :3x^2-18y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=27$

 

Câu 4

Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn . AB , AC cắt đường tròn tại điểm thứ 2 tương ứng là E và D . Trên cung BC không chứa D lấy F (F khác B,C). AF cắt BC tại M , cắt (O;R) tại N(N khác F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P (P khác A)

a) giả sử $\widehat{BAC}=60^o$ , tính DE theo R

b) Chứng minh $AN.AF=AP.AM$

c) Gọi I,H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD,BC . Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K . Tìm vị trí của F trên cung BC để $\frac{BC}{FH}+\frac{BD}{FI}+\frac{CD}{FK}$ min .

 

Câu 5

Cho các số dương x,y,z thay đổi thỏa mãn $xy+yz+zx=xyz$ Tìm Max:

 

$M=\sum \frac{1}{4x+3y+z}$

 

 

 

 

[HoangVienDuy]

 

 

mình chém câu 5 trước nha

ta có $\sum \frac{1}{x}=1$

$M=\sum \frac{1}{(x+z)+3(x+y)}\leq \sum \frac{1}{16}.(\frac{1}{x+z}+\frac{3}{x+y})=\frac{1}{16}\sum \frac{4}{x+y}\leq \sum \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\doteq \frac{1}{8}.\sum \frac{1}{x}=\frac{1}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 24-03-2015 - 22:30

[marcoreus101]

mình chém câu 5 trước nha

ta có $\sum \frac{1}{x}=1$

$M=\sum \frac{1}{(x+z)+3(x+y)}\leq \sum \frac{1}{16}.(\frac{1}{x+z}+\frac{3}{x+y})=\frac{1}{16}\sum \frac{4}{x+y}\leq \sum \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\doteq \frac{1}{8}.\sum \frac{1}{x}=\frac{1}{8}$

là sao vậy bạn, mình chưa rõ lắm

[hoanglong2k]

là sao vậy bạn, mình chưa rõ lắm

Áp dụng AM-GM: $\frac{1}{(x+z)+3(x+y)}=\frac{1}{(x+z)+(x+y)+(x+y)+(x+y)}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y})=\frac{1}{16}(\frac{1}{x+z}+\frac{3}{x+y})$

[HoangVienDuy]

là sao vậy bạn, mình chưa rõ lắm

chỗ đó $\sum \frac{1}{(x+z)+(x+y)+(x+y)+(x+y)}\leq \sum \frac{1}{16}(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y})=\sum \frac{1}{16}(\frac{1}{x+z}+\frac{3}{x+y})$ 

[hoanglong2k]

Câu 1b) Ta có: 

$PT\Leftrightarrow \sqrt{x+2014}-\sqrt{y+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2015-y}-\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}=0$

$\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x+2014}+\sqrt{y+2014}}-\frac{x-y}{\sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}}+\frac{x-y}{\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}}=0$

$\Leftrightarrow x=y$

Vì $\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}<\sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}$

    $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}}> \frac{1}{\sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}}$

    $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}}+\frac{1}{\sqrt{x+2014}+\sqrt{y+2014}}> \frac{1}{\sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}}$

Câu 2a thì có dạng $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3\Rightarrow \begin{bmatrix} a=-b\\ b=-c\\ c=-a \end{bmatrix}$

với $a=x$ ; $b=\sqrt{x+1}$ ; $c=\sqrt2$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 24-03-2015 - 23:04

[Thanh Long TDK]

Câu 3:

a/ Ta xét một số CP khi chia 7 chỉ có thể dư 0;1;2;4

xét p=7 dễ thấy đó là số cần tìm

giả sử $p^{2}$ chia 7 dư 1 =>  $3p^{2} +4$ chia hết cho 7 và lớn hơn 7 nên vô lí

tương tự với các TH $p^{2}$ chia 7 dư 2, dư 4, ta đều suy ra điều vô lí

=> p chia hết cho 7 nên p=7

b/ biến đổi biểu thức đã cho trở thành $3(x-3)^{2} + (3y^{2}+2)(z^{2}-6)=42$

từ biểu thức trên suy ra $z^{2} - 6$ chia hết cho 3

xét z <3, ta có:

z=2=>$z^{2} - 6 = -2$ không chia hết cho 3

z=1=> $z^{2} - 6 = -5$ không chia hết cho 3

suy ra $z\geq3$ => $(3y^{2}+2)(z^{2}-6) >0$

suy ra $(x-3)^{2}\leq9 $ lần lượt xét các giá trị của $(x-3)^{2}$ là 0;1;2;3 sau đó dựa vào $(3y^{2}+2)$ chia 3 dư hai, ta tìm đk 3 cặp nghiệm:

$(x;y;z)= (0;1;3);(6;1;3);(3;2;3)$

cái đề này câu BĐT quá dễ, các câu kia cũng từ khá dễ tới TB , thấy mỗi câu hệ khó, mà hầu như đề nào câu hệ cũng khó nhất.

em giải k ra câu hệ có thánh nhân nào GỢI Ý giúp em với.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh Long TDK: 25-03-2015 - 12:08

[GeminiKid]

em giải k ra câu hệ có thánh nhân nào GỢI Ý giúp em với.

 

trừ vế có $2x^{2}+xy-5x+y-y^{2}+2=0\Leftrightarrow 2x^{2}+x\left ( y-5 \right )-y^{2}+y+2=0$ (*)

(nháp :$ \Delta _{x}=\left ( y-5 \right )^{2}-4.2\left ( -y^{2} +y+2\right )= 9\left ( y-1 \right )^{2}$)

$(*)\Leftrightarrow \left ( x+y-2 \right )\left ( 2x-y-1 \right )=0$

đến đây ok r

[banrau]

Câu 4c các bác chém đi, tôi nghĩ mãi không ra. Đường Simson kiểu gì ấy nhỉ ? Tôi chỉ ý tưởng không biết đúng không : đánh giá Min tổng hai số hạng cuối, dấu đẳng thức khi F là điểm chính giữa cung BC.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banrau: 25-03-2015 - 18:01

[NguyenDangHuyYTNA]

$4c. theo simson=>FK vuong gocDC=>FIDK: la hinh chu nhat.\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{FK}=\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{DI}=\frac{DI-IB}{DK}+\frac{DK+KC}{DI}=\frac{DI}{DK}+\frac{DK}{DI}+\frac{KC}{DI}-\frac{BI}{IF}.Laico:\Delta BIF\sim \Delta CKF=>\frac{BI}{IF}=\frac{CK}{KF}=\frac{KC}{DI}=>\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{FK}\geq 2.Dedangco \frac{BC}{FH}\geq 2=>P\geq 4.$

[onepiecekizaru]

câu 5 mình làm thử có vẻ giống cách của HoangViemDuy

từ xy+yz+zx=xyz $\rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

ta có : $\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{(1+1+1+1+1+1+1+1)^{2}}{4x+3y+z}=\frac{64}{4x+3y+z}$ 

CMTT rồi cộng 3 vế vào $\rightarrow \sum \frac{64}{4x+3y+z}\leq 8(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=8\rightarrow \sum \frac{1}{4x+3y+z}\leq \frac{1}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onepiecekizaru: 25-03-2015 - 21:06

[banrau]

$4c. theo simson=>FK vuong gocDC=>FIDK: la hinh chu nhat.\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{FK}=\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{DI}=\frac{DI-IB}{DK}+\frac{DK+KC}{DI}=\frac{DI}{DK}+\frac{DK}{DI}+\frac{KC}{DI}-\frac{BI}{IF}.Laico:\Delta BIF\sim \Delta CKF=>\frac{BI}{IF}=\frac{CK}{KF}=\frac{KC}{DI}=>\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{FK}\geq 2.Dedangco \frac{BC}{FH}\geq 2=>P\geq 4.$

Rất hay. Cảm ơn bạn.

Hình gửi kèm

• 

[Ngoc Hung]

                                  KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG

                                                  LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015
                                                      MÔN THI : TOÁN (150 PHÚT)

 

 

Câu 2

 

a) Giải phương trình $x^3+(x+1)\sqrt{x+1}+2\sqrt{2}=(x+\sqrt{x+1}+\sqrt{2})^3$

Đặt $y=\sqrt{x+1};z=\sqrt{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)^{3}\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=0$

[yeudiendanlamlam]

Câu 3:

a/ Ta xét một số CP khi chia 7 chỉ có thể dư 0;1;2;4

 

cho mình hỏi tại sao xét chia cho 7 vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeudiendanlamlam: 26-03-2015 - 13:42

[Thanh Long TDK]

vì khi xét p không chia hết cho 7 thì một trong 3 số đã cho sẽ chia hết cho 7, vô lí (vì cả ba số đó đều là số nguyên tố lớn hơn 7)

[Nguyen Hai Bang]

$\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-4x+2y=2 & & & \\ x(x+1)+y(y+1)=4& & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-4x+2y=2 & & \\ x^2+x+y^2+y-2=2 & & \end{matrix}\right.$

Từ đó suy ra $3x^2+xy-4x+2y=x^2+x+y^2+y-2 $

$\Leftrightarrow$ $(x+y-2)(2x-y-1)=0$

$\Leftrightarrow$ $x+y-2=0$ hoặc $2x-y-1=0$

Thay vào pt thứ hai của hệ, ta có nghiệm của hệ phương trình là $(\dfrac{-4}{5} ; \dfrac{-13}{5}); (1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Hai Bang: 31-03-2015 - 14:17