Chủ đề này có 4 trả lời

[TDHAIT]

Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?

[bangbang1412]

Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?

 nhờ mod nào xóa hộ , em làm sai , mong không bị nhắc nhở , dù sao cũng có phần giải của SieuNhanVang rồi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-11-2013 - 18:37

[Rias Gremory]

Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?

Ta có : 

a,

$x^{3}-3xy^{2}+y^{3}=2x^{3}-3x^{2}y-x^{3}+3x^{2}y-3xy^{2}+y^{3}=2x^{3}-3x^{2}y+(y-x)^{3}=(y-x)^{3}-3(y-x)(-x)^{2}+(-x)^{3}$

Điều này cho thấy nếu $(x;y)$ là nghiệm nguyên của phương trình thì $(y-x;-x)$ cũng là nghiệm nguyên của phương trình.

Lại có : $x^{3}-3xy^{2}+y^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}+2y^{3}+3x^{2}y-6xy^{2}=(x-y)^{3}+3xy(x-y)-3xy^{2}+2y^{3}=(-y)^{3}-3(-y)(x-y)^{2}+(x-y)^{3}$

Nên $(-y;x-y)$ là nghiệm nguyên thứ 3 của phương trình. ( Vì $x,y$ nguyên )

b,

Vì $2891$ không chia hết cho $3$ , nên $x^{3}+y^{3}$ không chia hết cho $3$

Suy ra $x$ và $y$ có cùng số dư khi chia cho $3$ ( số dư đó khác $0$ ) hoặc là chỉ $1$ trong $2$ số $x$ và $y$ chia hết cho $3$

Hay chỉ $1$ trong $3$ số $-x;y;x-y$ chia hết cho $3$ . 

Sử dụng các phép biến đổi ở câu $a$ ta có thể cho rằng $y$ là một bội số của $3$

Do đó $x^{3}$ và $2891$ có cùng số dư khi chia cho $3$ 

Mà $2891\equiv 2$ ( mod $9$ )

Ta có nhận xét: 

Lập phương của $1$ số chia cho $9$ dư $0,1,8$ ( chứng minh bằng cách nhận xét lần lượt số dư trong phép chia cho $9$ )

Vậy $n=2891$ thì phương trình không có nghiệm nguyên.

P/s : Mong mọi người kiểm tra nhé!! 

[Kool LL]

 Sau một lúc ngồi mình thử trình bày cách giải sau , nếu sai xót mong mọi người bỏ qua

Đặt $x=y+a$ với $a$ là một số nguyên nào đấy.

Ta có $(x-y)^{3}=a^{3}$ hay $n-(x-y)^{3}=n-a^{3}$

Ta lại có $n-(x-y)^{3}=n-x^{3}+y^{3}+3xy(x-y)=\boxed{x^{3}-3xy^{2}+y^{3}-x^{3}+y^{3}+3x^{2}y-3xy^{2}=2y^{3}+3x^{2}y}$$=n-a^{3}$

Hay $2y^{3}+3x^{2}y+a^{3}=n$

Lại có $3x^{2}y=3(a+y)^{2}y=3(y^{2}+2ay+a^{2})y=3(y^{3}+2ay^{2}+a^{2}y)=3y^{3}+6ay^{2}+3a^{2}y=3y^{3}+3ay(a+y)+3ay^{2}$

Thay vào ta có $2y^{3}+3x^{2}y+a^{3}=2y^{3}+a^{3}+3y^{3}+3ay(y+a)+3ay^{2}=(y+a)^{3}+4y^{3}+3ay^{2}=x^{3}+4y^{3}+3(x-y)y^{2}=x^{3}+4y^{3}+3xy^{2}-3y^{3}=x^{3}+y^{3}+3xy^{2}=n=x^{3}+y^{3}-3xy^{2}$

Nên một trong hai số $x=0$ hoặc $y=0$   không biết sai gì không nhưng mà em hay nhầm mấy cái tính toán 

Thực chất từ $x=0$ hoặc $y=0$ ta vẫn có thể biến đổi để phương trình có $3$ nghiệm . 

$n=2891$ không là lập phương một số nguyên nên pt vô nghiệm 

 

Phần đóng khung đã sai rồi !!!

[buiminhhieu]

Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?

đây là đề thi IMO 1982 mọi người ạ

http://www.doko.vn/t...-23-1982-494188