Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x^3-3xy^2+y^3=n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 TDHAIT

TDHAIT

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Đã gửi 13-04-2006 - 17:00

Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?



#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1534 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 21-11-2013 - 21:08

Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?

:luoi: nhờ mod nào xóa hộ , em làm sai , mong không bị nhắc nhở , dù sao cũng có phần giải của SieuNhanVang rồi 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-11-2013 - 18:37

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 21-11-2013 - 21:12

Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?

Ta có : 

a,

$x^{3}-3xy^{2}+y^{3}=2x^{3}-3x^{2}y-x^{3}+3x^{2}y-3xy^{2}+y^{3}=2x^{3}-3x^{2}y+(y-x)^{3}=(y-x)^{3}-3(y-x)(-x)^{2}+(-x)^{3}$

Điều này cho thấy nếu $(x;y)$ là nghiệm nguyên của phương trình thì $(y-x;-x)$ cũng là nghiệm nguyên của phương trình.

Lại có : $x^{3}-3xy^{2}+y^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}+2y^{3}+3x^{2}y-6xy^{2}=(x-y)^{3}+3xy(x-y)-3xy^{2}+2y^{3}=(-y)^{3}-3(-y)(x-y)^{2}+(x-y)^{3}$

Nên $(-y;x-y)$ là nghiệm nguyên thứ 3 của phương trình. ( Vì $x,y$ nguyên )

b,

Vì $2891$ không chia hết cho $3$ , nên $x^{3}+y^{3}$ không chia hết cho $3$

Suy ra $x$ và $y$ có cùng số dư khi chia cho $3$ ( số dư đó khác $0$ ) hoặc là chỉ $1$ trong $2$ số $x$ và $y$ chia hết cho $3$

Hay chỉ $1$ trong $3$ số $-x;y;x-y$ chia hết cho $3$ . 

Sử dụng các phép biến đổi ở câu $a$ ta có thể cho rằng $y$ là một bội số của $3$

Do đó $x^{3}$ và $2891$ có cùng số dư khi chia cho $3$ 

Mà $2891\equiv 2$ ( mod $9$ )

Ta có nhận xét: 

Lập phương của $1$ số chia cho $9$ dư $0,1,8$ ( chứng minh bằng cách nhận xét lần lượt số dư trong phép chia cho $9$ )

Vậy $n=2891$ thì phương trình không có nghiệm nguyên.

P/s : Mong mọi người kiểm tra nhé!! 



#4 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 22-11-2013 - 17:18

:luoi:  Sau một lúc ngồi mình thử trình bày cách giải sau , nếu sai xót mong mọi người bỏ qua

Đặt $x=y+a$ với $a$ là một số nguyên nào đấy.

Ta có $(x-y)^{3}=a^{3}$ hay $n-(x-y)^{3}=n-a^{3}$

Ta lại có $n-(x-y)^{3}=n-x^{3}+y^{3}+3xy(x-y)=\boxed{x^{3}-3xy^{2}+y^{3}-x^{3}+y^{3}+3x^{2}y-3xy^{2}=2y^{3}+3x^{2}y}$$=n-a^{3}$

Hay $2y^{3}+3x^{2}y+a^{3}=n$

Lại có $3x^{2}y=3(a+y)^{2}y=3(y^{2}+2ay+a^{2})y=3(y^{3}+2ay^{2}+a^{2}y)=3y^{3}+6ay^{2}+3a^{2}y=3y^{3}+3ay(a+y)+3ay^{2}$

Thay vào ta có $2y^{3}+3x^{2}y+a^{3}=2y^{3}+a^{3}+3y^{3}+3ay(y+a)+3ay^{2}=(y+a)^{3}+4y^{3}+3ay^{2}=x^{3}+4y^{3}+3(x-y)y^{2}=x^{3}+4y^{3}+3xy^{2}-3y^{3}=x^{3}+y^{3}+3xy^{2}=n=x^{3}+y^{3}-3xy^{2}$

Nên một trong hai số $x=0$ hoặc $y=0$  :wacko:  không biết sai gì không nhưng mà em hay nhầm mấy cái tính toán 

Thực chất từ $x=0$ hoặc $y=0$ ta vẫn có thể biến đổi để phương trình có $3$ nghiệm . 

$n=2891$ không là lập phương một số nguyên nên pt vô nghiệm 

 

Phần đóng khung đã sai rồi !!!



#5 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 24-01-2014 - 19:14

Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?

đây là đề thi IMO 1982 mọi người ạ

http://www.doko.vn/t...-23-1982-494188


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh