Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?
$x^3-3xy^2+y^3=n$
#1
Đã gửi 13-04-2006 - 17:00
- Zaraki, barcavodich, LNH và 6 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 21-11-2013 - 21:08
Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?
nhờ mod nào xóa hộ , em làm sai , mong không bị nhắc nhở , dù sao cũng có phần giải của SieuNhanVang rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-11-2013 - 18:37
- Zaraki, Mrnhan, LNH và 5 người khác yêu thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#3
Đã gửi 21-11-2013 - 21:12
Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?
Ta có :
a,
$x^{3}-3xy^{2}+y^{3}=2x^{3}-3x^{2}y-x^{3}+3x^{2}y-3xy^{2}+y^{3}=2x^{3}-3x^{2}y+(y-x)^{3}=(y-x)^{3}-3(y-x)(-x)^{2}+(-x)^{3}$
Điều này cho thấy nếu $(x;y)$ là nghiệm nguyên của phương trình thì $(y-x;-x)$ cũng là nghiệm nguyên của phương trình.
Lại có : $x^{3}-3xy^{2}+y^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}+2y^{3}+3x^{2}y-6xy^{2}=(x-y)^{3}+3xy(x-y)-3xy^{2}+2y^{3}=(-y)^{3}-3(-y)(x-y)^{2}+(x-y)^{3}$
Nên $(-y;x-y)$ là nghiệm nguyên thứ 3 của phương trình. ( Vì $x,y$ nguyên )
b,
Vì $2891$ không chia hết cho $3$ , nên $x^{3}+y^{3}$ không chia hết cho $3$
Suy ra $x$ và $y$ có cùng số dư khi chia cho $3$ ( số dư đó khác $0$ ) hoặc là chỉ $1$ trong $2$ số $x$ và $y$ chia hết cho $3$
Hay chỉ $1$ trong $3$ số $-x;y;x-y$ chia hết cho $3$ .
Sử dụng các phép biến đổi ở câu $a$ ta có thể cho rằng $y$ là một bội số của $3$
Do đó $x^{3}$ và $2891$ có cùng số dư khi chia cho $3$
Mà $2891\equiv 2$ ( mod $9$ )
Ta có nhận xét:
Lập phương của $1$ số chia cho $9$ dư $0,1,8$ ( chứng minh bằng cách nhận xét lần lượt số dư trong phép chia cho $9$ )
Vậy $n=2891$ thì phương trình không có nghiệm nguyên.
P/s : Mong mọi người kiểm tra nhé!!
- Zaraki, BlackSelena, Mrnhan và 14 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 22-11-2013 - 17:18
Sau một lúc ngồi mình thử trình bày cách giải sau , nếu sai xót mong mọi người bỏ qua
Đặt $x=y+a$ với $a$ là một số nguyên nào đấy.
Ta có $(x-y)^{3}=a^{3}$ hay $n-(x-y)^{3}=n-a^{3}$
Ta lại có $n-(x-y)^{3}=n-x^{3}+y^{3}+3xy(x-y)=\boxed{x^{3}-3xy^{2}+y^{3}-x^{3}+y^{3}+3x^{2}y-3xy^{2}=2y^{3}+3x^{2}y}$$=n-a^{3}$
Hay $2y^{3}+3x^{2}y+a^{3}=n$
Lại có $3x^{2}y=3(a+y)^{2}y=3(y^{2}+2ay+a^{2})y=3(y^{3}+2ay^{2}+a^{2}y)=3y^{3}+6ay^{2}+3a^{2}y=3y^{3}+3ay(a+y)+3ay^{2}$
Thay vào ta có $2y^{3}+3x^{2}y+a^{3}=2y^{3}+a^{3}+3y^{3}+3ay(y+a)+3ay^{2}=(y+a)^{3}+4y^{3}+3ay^{2}=x^{3}+4y^{3}+3(x-y)y^{2}=x^{3}+4y^{3}+3xy^{2}-3y^{3}=x^{3}+y^{3}+3xy^{2}=n=x^{3}+y^{3}-3xy^{2}$
Nên một trong hai số $x=0$ hoặc $y=0$ không biết sai gì không nhưng mà em hay nhầm mấy cái tính toán
Thực chất từ $x=0$ hoặc $y=0$ ta vẫn có thể biến đổi để phương trình có $3$ nghiệm .
$n=2891$ không là lập phương một số nguyên nên pt vô nghiệm
Phần đóng khung đã sai rồi !!!
- bangbang1412 và Rias Gremory thích
#5
Đã gửi 24-01-2014 - 19:14
Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?
đây là đề thi IMO 1982 mọi người ạ
http://www.doko.vn/t...-23-1982-494188
Chuyên Vĩnh Phúc
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh