Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số tự nhiên n > 0 sao cho $n^{3}-8n^{2}+2n$ chia hết cho $n^{2}+1$

toán chia hết

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
MathSpace001

MathSpace001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

1) Tìm số tự nhiên n > 0 sao cho:

         a) $2^{n}-1$ chia hết cho 7

         b) $2^{n}+1$ chia hết cho 7

2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n > 0 thì (n+1)(n+2)...(n+n) chia hết cho $2^{n}$

3) Chứng minh với mọi số tự nhiên n > 0 thì

        a) $6^{2n}+19^{n}-2^{n+1}$ chia hết cho 17

        b) $7.5^{2n}+12.6^{n}$ chia hết cho 19

4) Tìm số nguyên n sao cho

        a) $n^{2}-n+3$ chia hết cho 121

        b) $n^{5}+1$ chia hết cho $n^{3}+1$

        c) $n^{3}-8n^{2}+2n$ chia hết cho $n^{2}+1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 25-03-2015 - 20:14


#2
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

3) Chứng minh với mọi số tự nhiên n > 0 thì

        a) $6^{2n}+19^{n}-2^{n+1}$ chia hết cho 17

        b) $7.5^{2n}+12.6^{n}$ chia hết cho 19

 

a) Ta có $6^{2n}+19^{n}-2^{n+1}=36^{n}+19^{n}-2.2^{n}=36^{n}-2^{n}+19^{n}-2^{n}=34.M+17.N=17(2M+N)\vdots 17$

b) Ta có $7.5^{2n}+12.6^{n}=7.25^{n}-7.6^{n}+19.6^{n}=7.19.M+19.6^{n}=19(7M+6^{n})\vdots 19$



#3
nangcuong8e

nangcuong8e

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

1) Tìm số tự nhiên n > 0 sao cho:

         a) $2^{n}-1$ chia hết cho 7

         b) $2^{n}+1$ chia hết cho 7

a, Ta có:+, Xét $n=3k (k \epsilon N*)$, ta có: $(2^3)^k =8^k \equiv 1$ (mod $7$)
 $\Rightarrow 8^k -1 \equiv 0$ (mod $7$) hay $2^{3k} -1 \vdots 7$
              +, Xét $n=3k +1$ ta có: $2^{3k+1} -1 = 8^k.2 -1 \equiv 1$ (mod $7$) (loại)
              +, Xét $n=3k+2$, ta có: $2^{3k+2} -1 =8^k.2^2 -1 \equiv 3$ (mod $7$) (loại)
Vậy: Phương trình có nghiệm nguyên với $n =3k (k \epsilon N*)$
b, Xét tương tự, ta có kết quả: Phương trình vô nghiệm nguyên



#4
nangcuong8e

nangcuong8e

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

        c) $n^{3}-8n^{2}+2n$ chia hết cho $n^{2}+1$

Ta có: $n^3 -8n^2 +2n \vdots (n^2+1) \Leftrightarrow (n^3+n) -(8n^2+8) +n +8 \vdots n^2+1 \Leftrightarrow n(n^2+1) -8(n^2+1) +n+8 \vdots n^2+1$

 $\Rightarrow n+8 \vdots n^2+1 \Rightarrow (n-8)(n+8) \vdots n^2+1 \Leftrightarrow (n^2 +1) -65 \vdots n^2+1$

$\Rightarrow 65 \vdots n^2 +1$ mà dễ dàng nhận thấy $n^2+1 \geq 1$ nên $n^2 +1 \epsilon  {1;5;13;65}$ hay $n^2 \epsilon {0;4;12;64}$
$\Rightarrow n \epsilon {-8;-2;0;2;8}$
  Thay lần lượt các giá trị của $x$ tìm được, ta nhận các giá trị $x =-8;0;2$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 25-03-2015 - 21:18


#5
MathSpace001

MathSpace001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Ta có: $n^3 -8n^2 +2n \vdots (n^2+1) \Leftrightarrow (n^3+n) -(9n^2+9) +n +9 \vdots n^2+1 \Leftrightarrow n(n^2+1) -9(n^2+1) +n+9 \vdots n^2+1$

 $\Rightarrow n+9 \vdots n^2+1 \Rightarrow (n-9)(n+9) \vdots n^2+1 \Leftrightarrow (n^2 +1) -82 \vdots n^2+1$

$\Rightarrow 82 \vdots n^2 +1$ mà dễ dàng nhận thấy $n^2+1 \geq 1$ nên $n^2 +1 \epsilon  {1;2;41;82}$ hay $n^2 \epsilon {0;1;40;81}$
$\Rightarrow n \epsilon {-9;-1;0;1;9}$
  Thay lần lượt các giá trị của $x$ tìm được, ta nhận các giá trị $x = 0$

 bạn lấy 9n^2 đâu vậy



#6
nangcuong8e

nangcuong8e

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

 

Ta có: $n^3 -8n^2 +2n \vdots (n^2+1) \Leftrightarrow (n^3+n) -(9n^2+9) +n +9 \vdots n^2+1 \Leftrightarrow n(n^2+1) -9(n^2+1) +n+9 \vdots n^2+1$

 $\Rightarrow n+9 \vdots n^2+1 \Rightarrow (n-9)(n+9) \vdots n^2+1 \Leftrightarrow (n^2 +1) -82 \vdots n^2+1$

$\Rightarrow 82 \vdots n^2 +1$ mà dễ dàng nhận thấy $n^2+1 \geq 1$ nên $n^2 +1 \epsilon  {1;2;41;82}$ hay $n^2 \epsilon {0;1;40;81}$
$\Rightarrow n \epsilon {-9;-1;0;1;9}$
  Thay lần lượt các giá trị của $x$ tìm được, ta nhận các giá trị $x = 0$

 bạn lấy 9n^2 đâu vậy

 

Đã sửa bạn ạ







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán chia hết

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh