Chủ đề này có 8 trả lời

[Nguyen Duc Phu]

Câu 1(3đ): Cho a, b, c dương thỏa $a+b+c=\frac{1}{abc}$. Chứng minh

$\sqrt{\frac{(1+b^2c^2)(1+a^2c^2)}{c^2+a^2b^2c^2}}=a+b$

Câu 2(2đ): Cho tam giác nhọn ABC. Từ điểm M trên đoạn BC vẽ các đường thẳng song song với AB và AC để tạo thành 1 hình bình hành. Tìm điểm M sao cho diện tích hình bình hành nhỏ nhất.

Câu 3(5đ): Giải phương trình và hệ pt sau:

a) $2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}$

b) $\left\{\begin{matrix} y=2\sqrt{x-1}\\ \sqrt{x+y}=x^2-y \end{matrix}\right.$

Câu 4(4đ): a) Ở đây

                   b) Tìm nghiệm nguyên (hay nghiệm nguyên dương gì đó không nhớ rõ  ) của pt sau:

$2x^2+y^2+3xy+3x+2y+2=0$

Câu 5(4đ): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) tại K khác A. Chứng minh:

a)  KH đi qua trung điểm M của BC

b) BC là tiếp tuyến chung của các đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK và CHK.

Câu 6(2đ): Không nhớ nhưng đại loại là cho cái bảng giá tiền rồi tính tiền điện.

[Ngoc Hung]

Câu 1(3đ): Cho a, b, c dương thỏa $a+b+c=\frac{1}{abc}$. Chứng minh

$\sqrt{\frac{(1+b^2c^2)(1+a^2c^2)}{c^2+a^2b^2c^2}}=a+b$

Ta có $1+b^{2}c^{2}=abc(a+b+c)+b^{2}c^{2}=bc(a^{2}+ab+ca+bc)=bc(a+b)(a+c)$

Tương tự $1+a^{2}c^{2}=ca(b+a)(b+c);1+a^{2}b^{2}=ab(c+a)(c+b)$

Do đó $\sqrt{\frac{(1+b^2c^2)(1+a^2c^2)}{c^2+a^2b^2c^2}}=a+b$

[Ngoc Hung]

Câu 3(5đ): Giải phương trình và hệ pt sau:

a) $2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}$

b) $\left\{\begin{matrix} y=2\sqrt{x-1}\\ \sqrt{x+y}=x^2-y \end{matrix}\right.$

a) $\Leftrightarrow \left ( x-\sqrt{x+3} \right )\left ( 2x-\sqrt{x+3} \right )=0$

b) Từ phương trình (1) thay vào (2) được $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=x^{2}-2\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+1=x^{2}-2\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x^{2}-3\sqrt{x-1}-1=0$

[vda2000]

 

Câu 4(4đ): a) Ở đây

 

C1: Ta có: $\frac{x^2+12}{x+y}+y=\frac{x^2+xy+y^2+12}{x+y}$

Xét: $\frac{x^2+12}{x+y}-6=\frac{x^2+xy+y^2+12-6x-6y}{x+y}$

Ta có: $4(x^2+xy+12-6x-6y)=[(2x+y)^2-12(2x+y)+36]+3(y^2-4y+4)=(2x+y-6)^2+3(y-2)^2\geq 0$

Do đó, $\frac{x^2+12}{x+y}+y-6\geq 0$

$\Rightarrow\frac{x^2+12}{x+y}+y\geq 6$

Đẳng thức xảy ra tại $x=y=2$

C2: Chứng minh được: $x^2+xy+y^2\geq\frac{3}{4}(x+y)^2$

Do đó, $\frac{x^2+12}{x+y}+y\geq\frac{\frac{3}{4}(x+y)^2+12}{x+y}\geq\frac{2\sqrt{\frac{3}{4}.(x+y)^2.12}}{x+y}=6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 25-03-2015 - 22:46

[hoanglong2k]

Câu 5

a) Ta có: AEHD nội tiếp nên 5 điểm A,E,H,D,K cùng thuộc (ADE)

$\Rightarrow \widehat{AKH}=90^{\circ}$

Gọi giao điểm KH với (O) là I thì AI là đường kính

$\Rightarrow $ BHCI là hình bình hành $\Rightarrow $ H,M,I thẳng hàng $\Rightarrow $ K,H,M thẳng hàng

b) Ta có: $\widehat{BKH}=\widehat{BAI}=90^{\circ}-\widehat{AED}=90^{\circ}-\widehat{ACB}=\widehat{HBC}$

                $\Rightarrow$ BC là tiếp tuyến $(BKH)$

Tương tự với (CKH)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 26-03-2015 - 22:01

[Nguyen Duc Phu]

Câu 5

a) Ta có: AEHD nội tiếp nên 5 điểm A,E,H,D,K cùng thuộc (ADE)

$\Rightarrow \widehat{AKH}=90^{\circ}$

Gọi giao điểm KH với (O) là I thì AI là đường kính

$\Rightarrow $ BHCI là hình bình hành $\Rightarrow $ H,M,I thẳng hàng $\Rightarrow $ K,H,M thẳng hàng

b) Ta có: $\widehat{KBH}=\widehat{BAI}=90^{\circ}-\widehat{AED}=90^{\circ}-\widehat{ACB}=\widehat{HBC}$

                $\Rightarrow$ BC là tiếp tuyến $(BKH)$

Tương tự với (CKH)

Phải là $\widehat{HBK }$ mới đúng chứ!

[Truong Gia Bao]

Câu 4b):

$2x^2+y^2+3xy+3x+2y+2=0\Leftrightarrow 2x^2+3(y+1)x+y^2+2y+2=0(*)$

  $\Delta=y^2+2y-7 $ (giải phương trình coi x là ẩn, y là tham số)

Để pt đã cho có nghiệm nguyên thì y nguyên và $\Delta$ phải là 1 số chính phương.

Đặt $y^2+2y-7=k^2 (k \in\ N)$

$\Leftrightarrow (y+1)^2-k^2=8 \Leftrightarrow (y-k+1)(y+k+1)=8=(-8)(-1)=(-4)(-2)=1.8=2.4$

Thử 4 trường hợp trên ta được 2 giá trị nguyên tương ứng của $y$ và $k$ là $(y;k)=(-4;1);(2;1)$

Lại thử lần lượt với $y=-4$ và $y=2$ vào pt $(*)$ ta được nghiệm nguyên duy nhất của pt đã cho là $(x;y)=(-2;2)$

 

Các bạn muốn xem bài 6 có thể vào: http://diendantoanho...minh-2014-2015/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi satomiwakomoon: 31-03-2015 - 22:28

[GeminiKid]

 

Câu 2(2đ): Cho tam giác nhọn ABC. Từ điểm M trên đoạn BC vẽ các đường thẳng song song với AB và AC để tạo thành 1 hình bình hành. Tìm điểm M sao cho diện tích hình bình hành nhỏ nhất.

 

kẻ đt // vs AB,AC cắt AC,AB tại E,F

đặt $S_{ABC}=S,S_{BMF}=S_{1},S_{CME}=S_{2}$,$S_{AEMF}=S_{3}$

dễ dàng có $\frac{S_{1}}{S}=\frac{BM^{2}}{BC^{2}},\frac{S_{2}}{S}=\frac{MC^{2}}{BC^{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{S_{1}}{S}}+\sqrt{\frac{S_{2}}{S}}=1\Rightarrow \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}=\sqrt{S}$

$S_{1}+S_{2}\geq \frac{\left ( \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}} \right )^{2}}{2}=\frac{S}{2}$

$\Rightarrow S_{3}\leq \frac{S}{2}$

đẳng thức xảy ra khi M là trung điểm BC=>KL

[Cantho2015]

kẻ đt // vs AB,AC cắt AC,AB tại E,F
đặt $S_{ABC}=S,S_{BMF}=S_{1},S_{CME}=S_{2}$,$S_{AEMF}=S_{3}$
dễ dàng có $\frac{S_{1}}{S}=\frac{BM^{2}}{BC^{2}},\frac{S_{2}}{S}=\frac{MC^{2}}{BC^{2}}$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{S_{1}}{S}}+\sqrt{\frac{S_{2}}{S}}=1\Rightarrow \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}=\sqrt{S}$
$S_{1}+S_{2}\geq \frac{\left ( \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}} \right )^{2}}{2}=\frac{S}{2}$
$\Rightarrow S_{3}\leq \frac{S}{2}
đẳng thức xảy ra khi M là trung điểm BC=>KL

Hình như cái cuối ngược dấu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cantho2015: 12-05-2015 - 22:23