Chủ đề này có 10 trả lời

[SweetCandy11]

Cho a, b,c, d, e $\in$ R. CM các BĐT sau

 

1/ $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)\geqslant 6abc$

 

2/ $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a(b+c+d+e)$

 

3/ $a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4abcd$

 

4/ $\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^2$

 

5/ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}$ với a,b,c $>$0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SweetCandy11: 26-03-2015 - 16:44

[nhatmai]

Cho a, b,c, d, e $\in$ R. CM các BĐT sau

 

1/ $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)\geqslant 6abc$

 

2/ $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a(b+c+d+e)$

 

3/ $a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4abcd$

 

4/ $\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^2$

 

5/ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}$ với a,b,c $>$0

1/ nhân ra rồi áp dụng bđt Cosi cho 6 số

3/ $a^4 + b^4 + c^4 +d^4\geqslant 2\sqrt{a^4 + b^4} +2\sqrt{c^4 + d^4}= 2a^2b^2 + 2c^2d^2 \geqslant 2\sqrt{2a^2b^22c^2d^2} = 4abcd$

4/ $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}= \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{9}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

vì $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ với $\forall a,b,c$

5/ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}= \frac{2}{\sqrt{ab}}$

$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{\sqrt{bc}}$

$\frac{1}{c}+ \frac{1}{a}\geq \frac{2}{\sqrt{ca}}$

cộng vế theo vế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatmai: 26-03-2015 - 17:08

[hoctrocuaHolmes]

Chủ yếu là dùng bdt AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 26-03-2015 - 17:51

[hoctrocuaHolmes]

1/ nhân ra rồi áp dụng bđt Cosi cho 6 số

3/ $a^4 + b^4 + c^4 +d^4\geqslant 2\sqrt{a^4 + b^4} +2\sqrt{c^4 + d^4}= 2a^2b^2 + 2c^2d^2 \geqslant 2\sqrt{2a^2b^22c^2d^2} = 4abcd$

4/ $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}= \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{9}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

vì $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ với $\forall a,b,c$

5/ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}= \frac{2}{\sqrt{ab}}$

$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{\sqrt{bc}}$

$\frac{1}{c}+ \frac{1}{a}\geq \frac{2}{\sqrt{ca}}$

cộng vế theo vế

Mình nghĩ là đoạn màu đỏ sai rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 26-03-2015 - 17:52

[duythanbg]

2.

 

Ta có : 

$\frac{a^2}{4}+b^2\geq ab$ 

 

Tương tự rồi cộng lại ta có ĐPCM .

[hoctrocuaHolmes]

2.

 

Ta có : 

$\frac{a^2}{4}+b^2\geq ab$ 

 

Tương tự rồi cộng lại ta có ĐPCM .

bạn có thể làm rõ được không?

[duythanbg]

bạn có thể làm rõ được không?

$\frac{a^2}{4}+b^2\geq ab$

$\frac{a^2}{4}+c^2\geq ac$

$\frac{a^2}{4}+d^2\geq ad$

$\frac{a^2}{4}+e^2\geq ae$

 

Cộng lại ta có ĐPCM.

[hoctrocuaHolmes]

Cho a, b,c, d, e $\in$ R. CM các BĐT sau

 

1/ $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)\geqslant 6abc$

 

2/ $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a(b+c+d+e)$

 

3/ $a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4abcd$

 

4/ $\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^2$

 

5/ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}$ với a,b,c $>$0

bạn ơi,đề bài hình như thiếu đúng ko?Đáng lẽ a,b,c,d,e là các số thực dương chứ

[baotranthaithuy]

 

 

2/ $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a(b+c+d+e) $

$\Leftrightarrow (\dfrac{1}{4}a^2-ab+b^2)+(\dfrac{1}{4}a^2-ac+c^2)+(\dfrac{1}{4}a^2-ad+d^2)+(\dfrac{1}{4}a^2-ae+e^2) \geq 0$
$ \Leftrightarrow (\frac{1}{2}a-b)^2+(\frac{1}{2}a-c)^2+(\frac{1}{2}a-d)^2+(\frac{1}{2}a-e)^2 \geq 0$ (lđ)

 

 

 

 

 

[SweetCandy11]

bạn ơi,đề bài hình như thiếu đúng ko?Đáng lẽ a,b,c,d,e là các số thực dương chứ

bạn ơi số thực dương đấy

[nhatmai]

Mình nghĩ là đoạn màu đỏ sai rồi

 

xin lỗi mình viết nhầm

$a^4+ b^4+ c^4+d^4\geqslant 2\sqrt{a^4b^4}+2\sqrt{c^4d^4}\geqslant 2\sqrt{2\sqrt{a^4b^4}2\sqrt{c^4d^4}}= 4abcd$