Chủ đề này có 2 trả lời

[yeutoanmaimai1]

cho $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$; $x+1>0$;$y+1>0$ và $z+4>0$

Tìm GTLN của $A=\frac{xy-1}{(x+1)(y+1)}+\frac{z}{z+4}$

        trích từ đề thi HSG tỉnh Nam Định 2014-2015

[yeutoanmaimai1]

Lời giải: 

Ta có $2-A=(1-\frac{xy-1}{(x+1)(y+1)})+(1-\frac{z}{z+4})=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}$

Áp dụng bđt $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$ ta có $2-A\geq \frac{(1+1+2)^{2}}{x+y+z+6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\rightarrow A\leq \frac{-2}{3}$

[Dinh Xuan Hung]

Lời giải: 

Ta có $2-A=(1-\frac{xy-1}{(x+1)(y+1)})+(1-\frac{z}{z+4})=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}$

Áp dụng bđt $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$ ta có $2-A\geq \frac{(1+1+2)^{2}}{x+y+z+6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\rightarrow A\leq \frac{-2}{3}$

Theo mình thì không cần 2-A làm gì bạn có thể làm luôn:

$\frac{xy-1}{(x+1)(y+1)}+\frac{z}{z+4}=\frac{xy+x+y+1-x-y-2}{(x+1)(y+1)}+\frac{z+4-4}{z+4}=\frac{(x+1)(y+1)-x-y-2}{(x+1)(y+1)}+1-\frac{4}{z+4}=1+1-\left ( \frac{x+1+y+1}{(x+1)(y+1)}+\frac{4}{z+4} \right )=2-\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4} \right )$

Mặt khác:$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\geq \frac{(1+1+2)^2}{x+y+z+6}=\frac{8}{3}\Rightarrow 2-(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4})\leq -\frac{2}{3}\Leftrightarrow A\leq -\frac{2}{3}$

Cách của mình cũng giống cách bạn chỉ khác chỗ biến đổi