Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Tìm GTLN của $A=\frac{xy-1}{(x+1)(y+1)}+\frac{z}{z+4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 yeutoanmaimai1

yeutoanmaimai1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không có sự sống
  • Sở thích:hình học phẳng

Đã gửi 26-03-2015 - 19:53

cho $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$; $x+1>0$;$y+1>0$ và $z+4>0$

Tìm GTLN của $A=\frac{xy-1}{(x+1)(y+1)}+\frac{z}{z+4}$

        trích từ đề thi HSG tỉnh Nam Định 2014-2015



#2 yeutoanmaimai1

yeutoanmaimai1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không có sự sống
  • Sở thích:hình học phẳng

Đã gửi 26-03-2015 - 20:03

Lời giải: 

Ta có $2-A=(1-\frac{xy-1}{(x+1)(y+1)})+(1-\frac{z}{z+4})=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}$

Áp dụng bđt $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$ ta có $2-A\geq \frac{(1+1+2)^{2}}{x+y+z+6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\rightarrow A\leq \frac{-2}{3}$



#3 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Biên tập viên
  • 1400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 26-03-2015 - 20:39

Lời giải: 

Ta có $2-A=(1-\frac{xy-1}{(x+1)(y+1)})+(1-\frac{z}{z+4})=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}$

Áp dụng bđt $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$ ta có $2-A\geq \frac{(1+1+2)^{2}}{x+y+z+6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\rightarrow A\leq \frac{-2}{3}$

Theo mình thì không cần 2-A làm gì bạn có thể làm luôn:

$\frac{xy-1}{(x+1)(y+1)}+\frac{z}{z+4}=\frac{xy+x+y+1-x-y-2}{(x+1)(y+1)}+\frac{z+4-4}{z+4}=\frac{(x+1)(y+1)-x-y-2}{(x+1)(y+1)}+1-\frac{4}{z+4}=1+1-\left ( \frac{x+1+y+1}{(x+1)(y+1)}+\frac{4}{z+4} \right )=2-\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4} \right )$

Mặt khác:$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\geq \frac{(1+1+2)^2}{x+y+z+6}=\frac{8}{3}\Rightarrow 2-(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4})\leq -\frac{2}{3}\Leftrightarrow A\leq -\frac{2}{3}$

Cách của mình cũng giống cách bạn chỉ khác chỗ biến đổi






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh