Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{cos^2A}{1+cosA}\geq \frac{1}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng

$\frac{cos^2A}{1+cosA}+\frac{cos^2B}{1+cosB}+\frac{cos^2C}{1+cosC}\geq \frac{1}{2}$



#2
binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

Đặt $x=cot A,y=cot B,z=cot C$ ta có ngay $x,y,z>0$ và $xy+yz+xz=1$.Và ta có biến đổi sau:

$\frac{(cos A)^2}{cos A+1}=\frac{\frac{x^2}{x+1}}{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}+x)}=x^2-\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}=x^2-\frac{x^3}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\geq x^2-\frac{x^3}{2(x+z)}-\frac{x^3}{2(x+y)}$

 

Vậy $VT\geq x^2+y^2+z^2-\frac{x^3+y^3}{2(x+y)}-\frac{y^3+z^3}{2(y+z)}-\frac{x^3+z^2}{2(x+z)}=\frac{xy+yz+xz}{2}=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 26-03-2015 - 22:22

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh