Chủ đề này có 2 trả lời

[Juliel]

Cho các số không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh :

$$\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}\leq \dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}$$

[quanchun98]

Ta chỉ cần chứng minh $\frac{c\left ( a+b \right )+ab}{b\left ( b+a \right )}+\frac{a\left ( b+c \right )+bc}{c\left ( c+b \right )}+\frac{b\left ( c+a \right )+ca}{a\left ( a+c \right )}\geq \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{c+b}{b}+\frac{b+a}{a}+\frac{a+c}{c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{15}{2}$. Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $\frac{a+b}{4a}+\frac{a}{a+b}+\frac{b+c}{4b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c+a}{4c}+\frac{a}{c+a}+\frac{3}{4}\left ( \frac{a+b}{a}+\frac{b+c}{b}+\frac{c+a}{c} \right )\geq 3+\frac{3}{4}\left ( 3+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )\geq \frac{15}{2}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanchun98: 26-05-2015 - 09:51

[longatk08]

BĐT trên đúng rồi làm sao nữa mà có được điều chứng minh.

 

Đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 26-05-2015 - 07:38