Chủ đề này có 9 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Chứng minh với $a,b,c$ không âm thì $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$

[Chung Anh]

Chứng minh với $a,b,c$ không âm thì $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$

Áp dụng bất đẳng thức phụ $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} $ ta có 

$(a+b-c)(a+c-b)\leq \frac{(a+b-c+a+c-b)^2}{4}=a^2 $

Lập các BĐT tương tự nhân lại có đpcm

[JayVuTF]

Áp dụng bất đẳng thức phụ $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} $ ta có 

$(a+b-c)(a+c-b)\leq \frac{(a+b-c+a+c-b)^2}{4}=a^2 $

Lập các BĐT tương tự nhân lại có đpcm

Đã chắc bộ 3 số $(a+b-c ; a+c-b ; b+c-a)$ không âm chưa mà dùng Cosi

Theo mình bài phải thêm đk $a ;b; c$ là 3 cạnh tam giác

[Chung Anh]

 

Đã chắc bộ 3 số $(a+b-c ; a+c-b ; b+c-a)$ không âm chưa mà dùng Cosi

Theo mình bài phải thêm đk $a ;b; c$ là 3 cạnh tam giác

 

Không cần 3 cạnh tam giác,bất đẳng thức phụ kia đúng với mọi x,y

[nangcuong8e]

Chứng minh với $a,b,c$ không âm thì $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$

Bài này chúng ta xét 3 Trường Hợp:
 +,Cả $a+b-c;b+c-a;c+a-b$ đều là số âm thì ta có:
$0< (a+b-c)(b+c-a) =[b+(a-c)][b-(a-c)] =b^2 -(a-c)^2 \leq b^2$
  TƯơng tự, ta cũng có $0< (b+c-a)(c+a-b) \leq c^2$
                                    $0< (c+a-b)(a+b-c) \leq a^2$
$\Rightarrow [(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^2 \leq (abc)^2 \Leftrightarrow  (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \leq abc$
+, Tồn tại ít nhất 1 số âm, giả sử $a+b-c < 0$, thì ta có:
 Do $(a+b-c) +(b+c-a) = 2b \geq 0 \Rightarrow b+c-a >0$
      $(a+b-c) +(a+c-b) =2a \geq 0 \Rightarrow a+c-b >0$
$\Rightarrow (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) < 0 \leq abc$
+, Cả 3 số đều không âm, ta có thể chứng minh theo cách của chi Chung Anh là ra.

[Chung Anh]

Bài này chúng ta xét 3 Trường Hợp:
 +,Cả $a+b-c;b+c-a;c+a-b$ đều là số âm thì ta có:
$0< (a+b-c)(b+c-a) =[b+(a-c)][b-(a-c)] =b^2 -(a-c)^2 \leq b^2$
  TƯơng tự, ta cũng có $0< (b+c-a)(c+a-b) \leq c^2$
                                    $0< (c+a-b)(a+b-c) \leq a^2$
$\Rightarrow [(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^2 \leq (abc)^2 \Leftrightarrow  (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \leq abc$
+, Tồn tại ít nhất 1 số âm, giả sử $a+b-c < 0$, thì ta có:
 Do $(a+b-c) +(b+c-a) = 2b \geq 0 \Rightarrow b+c-a >0$
      $(a+b-c) +(a+c-b) =2a \geq 0 \Rightarrow a+c-b >0$
$\Rightarrow (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) < 0 \leq abc$
+, Cả 3 số đều không âm, ta có thể chứng minh theo cách của chi Chung Anh là ra.

Nếu 3 số đều âm thì $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) <0 \leq abc$ (do a,b,c không âm )

[nguyenhongsonk612]

Bài này chúng ta xét 3 Trường Hợp:
 +,Cả $a+b-c;b+c-a;c+a-b$ đều là số âm thì ta có:
$0< (a+b-c)(b+c-a) =[b+(a-c)][b-(a-c)] =b^2 -(a-c)^2 \leq b^2$
  TƯơng tự, ta cũng có $0< (b+c-a)(c+a-b) \leq c^2$
                                    $0< (c+a-b)(a+b-c) \leq a^2$
$\Rightarrow [(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^2 \leq (abc)^2 \Leftrightarrow  (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \leq abc$
+, Tồn tại ít nhất 1 số âm, giả sử $a+b-c < 0$, thì ta có:
 Do $(a+b-c) +(b+c-a) = 2b \geq 0 \Rightarrow b+c-a >0$
      $(a+b-c) +(a+c-b) =2a \geq 0 \Rightarrow a+c-b >0$
$\Rightarrow (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) < 0 \leq abc$
+, Cả 3 số đều không âm, ta có thể chứng minh theo cách của chi Chung Anh là ra.

Theo mình nghĩ chỉ cần chia $2$ TH là đủ. 

Một trường hợp: Tồn tại ít nhất một số âm

Và một trường hợp $3$ số không âm

Vì ở TH đầu, khi một số âm ta chỉ ra điều vô lý rồi thì $2$ hay $3$ số âm nó cũng vô lý luôn chứ nhỉ

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức phụ $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} $ ta có 

$(a+b-c)(a+c-b)\leq \frac{(a+b-c+a+c-b)^2}{4}=a^2 $

Lập các BĐT tương tự nhân lại có đpcm

Xem lại chữ đõ ở trên.

Lời giải.

Nếu $(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\leqslant 0$ thì hiển nhiên ta có bất đẳng thức đầu.

Nếu $(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)> 0$

Giả dụ $b+c-a<0$ thì $(c+a-b)(a+b-c)<0$, khi đó ta có hoặc $2c<0$ hoặc $2b<0$ vô lý.

Do đó sẽ không có $b+c-a<0$ và toàn thể ta có $b+c-a, c+a-b, a+b-c\geqslant 0$

Giờ mới có thể nhân lại như Chung Anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 28-03-2015 - 20:42

[dogsteven]

Khai triển ra ta được $a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Cách 1. Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$, đặt $f(a,b,c)=\sum a^3+3abc-\sum ab(a+b)$

$f(a,b,c)-f(t,t,c)=\dfrac{(4a+4b-5c)(a-b)^2}{4}\geqslant 0$ với $2t=a+b$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $f(t,t,c)\geqslant 0\Leftrightarrow c(c-t)^2\geqslant 0$ luôn đúng.

Cách 2. Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì ta có:

$c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geqslant 0\Leftrightarrow \sum a^3+3abc-\sum ab(a+b)\geqslant (a-c)^3+(b-c)^3-(a-c)(b-c)(a+b-2c)$

Mà ta có $(a-c)^3+(b-c)^3-(a-c)(b-c)(a+b-2c)=(a+b-2c)(a-b)^2\geqslant 0$ nên ta có điều phải chứng minh.

Cách 3. Gom lại được $(a+b-c)(a-b)^2+c(a-c)(b-c)\geqslant 0$ luôn đúng.

[My Linh Vietnamese]

Cái này là hệ quả của bất đẳng thức Schur.
$a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-a)(b-c)+c^k(c-a)(c-b) \ge 0$
Với $k=1$ ta có bất đẳng thức trên