Chủ đề này có 6 trả lời

[Ngoc Hung]

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO                            KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH

             HÀ TĨNH                                                                           NĂM HỌC 2009-2010

             -------------                                                                          MÔN TOÁN (Chuyên)

      ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                      Thời gian: 150 phút

                                                                                                                  

 

Bài 1:   a) Tìm các số a, b thỏa mãn $a^{2}+\frac{1}{b^{2}}=a^{3}+\frac{1}{b^{3}}=a^{4}+\frac{1}{b^{4}}$

            b) Giải phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ biết phương trình có 1 nghiệm là $\left ( 1+\sqrt{2} \right )^{2}$với a, b, c Î Z
Bài 2: Giải phương trình $2x^{2}-6x+4=3\sqrt{x^{3}+8}$ 
Bài 3: Cho x, y > 0 và $x+y\geq 5$. Tìm GTNN của $P=5x+4y+\frac{8}{x}+\frac{9}{y}$

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có $\widehat{ABC}=60^{0}$(AB < AC). Phân giác trong của $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D. Từ D kẻ Dx // AC, Dy // AB cắt AB, AC lần lượt tại M, N.

           a) Chứng minh rằng $MN^{2}=BM.CN$

           b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MND cắt BD tại E (E ¹ D), BN cắt CM tại F. Chứng minh rằng BMFE nội tiếp được đường tròn

           c) EF cắt MN tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN

Bài 5: Cho bộ 5 đường tròn trong đó bốn đường tròn trong 5 đường tròn đó luôn có 1 điểm chung. Chứng tỏ rằng 5 đường tròn đó phải cùng đi qua một điểm chung.

[congdaoduy9a]

Bài 2 : Đặt $\sqrt{x^{2}-2x+4}=a$ ; $\sqrt{x+2}=b$

PT: $\Leftrightarrow 2a^{2}-2b^{2}=3ab$

$\Leftrightarrow \left ( 2a+b \right )(a-2b)=0$

$\Rightarrow a=2b$ (vì $a> 0;b\geq 0$ )

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-2x+4}=2\sqrt{x+2}$

$\Leftrightarrow x^{2}-6x-4=0$

$x=3+\sqrt{13}$ hoặc $x= 3-\sqrt{13}$

PS: coi lại đúng không dùm mình 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 29-03-2015 - 14:32

[hoanglong2k]

Bài 3:

Nháp:

Tách: $5=(5-m)+m$ và $4=(4-n)+n$

Khi đó: $P=mx+\frac{8}{x}+ny+\frac{9}{y}+(5-m)x+(4-n)y\geq 4\sqrt{2x}+6\sqrt y+(5-m)x+(4-n)y$

Ta chọn $m,n$ và dự đoán dấu "=" :

$\left\{\begin{matrix} 5-m=4-n\Leftrightarrow m-n=1\\ mx=\frac{8}{x}\Leftrightarrow m=\frac{8}{x^2}\\ ny=\frac{9}{y}\Leftrightarrow n=\frac{9}{y^2}\\ x+y=5\end{matrix}\right.$ 

Giải hệ trên ta được: $\left\{\begin{matrix} m=2\\ n=1\\ x=2\\ y=3 \end{matrix}\right.$

Từ đó đi đến lời giải

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 

$P=2x+\frac{8}{x}+y+\frac{9}{y}+3(x+y)\geq 8+6+15=29$

Vậy $P_{min}=29\Leftrightarrow (x,y)=(2,3)$

[huythang299]

Bài 3

$3(x+y)\geq 15$

Cauchy:

$2x+\frac{8}{x}\geq 8$ 

$y+\frac{9}{y}\geq 6$  

Cộng theo vế:

$P\geq 29$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=2$ và $y=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythang299: 29-03-2015 - 14:01

[hoanglong2k]

Bài 1:

a) ĐK: $b\not =0$

Ta có: $GT\Rightarrow (a^2+\frac{1}{b^2})(a^4+\frac{1}{b^4})=(a^3+\frac{1}{b^3})^2$

           $\Leftrightarrow (\frac{a^2}{b}-\frac{a}{b^2})^2=0$

           $\Leftrightarrow (ab)^2=ab$

           $\Rightarrow \begin{bmatrix} ab=1\Rightarrow a=\frac{1}{b}\\ ab=0\Rightarrow a=0 \end{bmatrix}$

Với $a=\frac{1}{b}\Rightarrow a^2=a^3=a^4\Rightarrow \begin{bmatrix} a=1\\ a=0 \end{bmatrix}$ ( loại trường hợp $a=0$ )

Với $a=0$ thì $b=1$

b) Gọi nghiệm còn lại là $x_0$ thì $x_0+3+2\sqrt2=\frac{-b}{a}$

Lại có: $ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow a(1+\sqrt2)^4+b(1+\sqrt2)^2+c=0\Leftrightarrow 17a+3b+c=-2\sqrt2(b+6a)$

Vì $a,b,c$ nguyên nên $b=-6a\Leftrightarrow \frac{-b}{a}=6\Rightarrow x_0=3-2\sqrt2$ 

[HoangVienDuy]

Bài 2 : Đặt $\sqrt{x+2}=b;\sqrt{x^{2}-2x+4}=a$

PT: $\Leftrightarrow 2a^{2}-2b^{2}=3ab$

$\Leftrightarrow \left ( 2a+b \right )(a-2b)=0$

$\Rightarrow a=2b$ (vì $a> 0;b\geq 0$ )

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-2x+4}=2\sqrt{x+2}$

$\Leftrightarrow x^{2}-6x-4=0$

$x=3+\sqrt{13}$ hoặc $x= 3-\sqrt{13}$

PS: coi lại đúng không dùm mình 

bạn đặt bị ngược rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 29-03-2015 - 14:26

[Thelightindarkness]

Bài 5 ( thử tí , có thể sai :v ) :

Gọi 5 đường tròn lần lượt là (O1) ; (O2);(O3);(O4);(O5) 

Không mất tính tổng quát , A thuộc O1;2;3;4

B thuộc O2;3;4;5

C thuộc O3;4;5;1

D thuộc O4;5;1;2

E thuộc O5;1;2;3

Vì (O1) cắt (O2) ở A;D;E nên có ít nhất 2 điểm trùng nhau 

Giả sử A và D trùng nhau 

Ta có điều phải chứng minh