Chủ đề này có 10 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

                SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                              KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS      

                          THANH HÓA                                                                                           Năm học: 2014-2015 

  ĐỀ DỰ BỊ                                                                                                                      Môn thi: TOÁN 

                                                                                                                                        Ngày thi 25/03/2015 

                                                                                                                 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                               Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.

Câu I (4 điểm): 

 1. Rút gọn biểu thức :$A=\left ( \frac{1}{\sqrt{a}-1} -\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-1}\right ):\left ( 1-\frac{2\sqrt{a}}{a+1} \right )$ với $0\leq a;a\neq 1$

2.Cho $b=\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}}$.Tính giá trị biểu thức:$B=(b^4-b^3-b^2+3b-4)^{11}-33$

Câu II (4 điểm ):

1.Tìm $m$ để phương trình $x^4-2mx^2+36=0$ có bốn nghiệm phân biệt $x_1< x_2<x_3<x_4$ thỏa mãn $x_1-x_2=x_2-x_3=x_3-x_4$

2.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2+3x=\frac{8}{y^3} & & \\ x^3-2=\frac{6}{y} & & \end{matrix}\right.$

Câu III ( 4 điểm):

1.Cho hai số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn tìm được số nguyên c sao cho $a^2+b^2+c^2$ là số chính phương

 2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương  (x; y ; z) thỏa mãn:$xyz=x^2-2z+2$

Câu IV (6 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left ( \omega \right )$   và điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó.Các điểm $A',B',C'$  lần lượt là giao của $AI,BI,CI$ với $\left ( \omega \right )$. Trên cung $AC$ của $\left ( \omega \right )$ không chứa đỉnh $B$ lấy điểm $D$ bất kì. Gọi $E$ là giao của $DC'$ với $AA'$ , $F$ là giao của $DA'$ với $CC'$. Chứng minh rằng:

1. $I$ là trực tâm của tam giác $A'B'C'$

2. Tứ giác $DEIF$ nội tiếp một đường tròn.

3. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.    

Câu V ( 2 điểm)

 Cho ba số dương  $x, y, z$ thay đổi thoả mãn điều kiện: $x + 2y + 3z = 3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $Q=\frac{88y^3-x^3}{2xy+16y^2}+\frac{297z^3-8y^3}{6zy+36z^2}+\frac{11x^3-27z^3}{3xz+4x^2}$

                                                   ------------------  Hết------------------

Họ tên thí sinh: ………………………………………

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

P/s:Có vẻ đề dự bị còn khó hơn đề chính thức 

[hoanglong2k]

Câu 5;

Đặt $(a,b,c)\rightarrow (x,2y,3z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c=3\\ Q=\sum \frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2} \end{matrix}\right.$

Áp dụng AM-GM: $a^2+b^2\geq 2ab\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\geq ab\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)$

Ta có: 

$Q=\sum \frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}=\sum \frac{12b^3-(a^3+b^3)}{ab+4b^2}\leq\sum \frac{12b^3-ab(a+b)}{ab+4b^2}=\sum \frac{12b^2-ab-a^2}{a+4b}=\sum (3b-a)=2\sum a=6$

[congdaoduy9a]

Câu 2 : ĐK: $y\neq 0$ Đặt $\frac{1}{y}= t$

Hệ pt tương đương :  $\left\{\begin{matrix} 2+3x=8t^{3} & & \\ x^{3}-2=6t & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 8t^{3}-x^{3}+6t-3x=0$

$\Leftrightarrow (2t-x)(4t^{2}+2xt+x^{2}+2)=0$

Vì $4t^{2}+2xt+x^{2}+2> 0$

$\Rightarrow 2t-x=0\Rightarrow 2t=x$

$\Rightarrow x=\frac{2}{y}$

Thay vào pt 2 => x=2 hoặc x=-1

+x=2=>y=1

+x=-1=>y=-2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 30-03-2015 - 20:46

[huy2403exo]

Câu 3 :

1. $ab$ chẵn nên ta xét 2 TH :

Nếu $a$;$b$ chẵn ta có $a^2+b^2=4k$ ( k nguyên)

Chọn $c=k-1$ thì $a^2+b^2+c^2=(k+1)^2$ là số chính phương

Nếu $a$ chẵn , $b$ lẻ ta có $a^2+b^2=4n+1$ (n nguyên)

Chọn $c=2n$ thì $a^2+b^2+c^2=(2n+1)^2$ là số chính phương

  Vậy luôn tìm được $c$ thoả mãn đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 30-03-2015 - 22:50

[HoangVienDuy]

câu 2: đặt $\frac{2}{y}=t$ ta có $\begin{cases} & \text{ } x^{3}-3t=2 \\ & \text{ } t^{3}-3x=2 \end{cases}$ đến đây dễ rồi )

[HoangVienDuy]

câu 1b: nhân liên hợp $b=\frac{2}{\frac{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$. thay vào B ta có B=2015

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 30-03-2015 - 21:24

[HoangVienDuy]

câu 2a: đặt $x^{2}=t(t\geq 0)\Rightarrow t^{2}-2mt+36=0$(*). vì pt có 4 nghiệm nên (*) có 2 nghiệm. suy ra $\Delta=4m^{2}-144\geq 0\Rightarrow m\geq 6$

ta có $x1=-\sqrt{t1};x2=-\sqrt{t2};x3=\sqrt{t2};x4=\sqrt{t1}$. mặt khác x₁-x₂=x₂-x₃=x₃-x_4.biến đổi tương đương suy ra t₁=9t_2. 

mà theo viète  $\left\{\begin{matrix} t1+t2=2m & & \\ t1.t2=36 & & \\ t1=9t2& & \end{matrix}\right.$ suy ra m=10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 30-03-2015 - 21:30

[hoanglong2k]

Câu 3.2:

Ta có: $PT\Leftrightarrow z=\frac{x^2+2}{xy+2}$

Vì $z$ nguyên nên $x^2+2\vdots xy+2\Rightarrow x^2y+2x+2y-2x\vdots xy+2\Rightarrow 2x-2y\vdots xy+2\Rightarrow 2x-2y\geq xy+2$

Mà $y$ nguyên dương nên $2x+2y> 2x-2y\geq xy+2\Leftrightarrow (x-2)(y-2)< 2$

Đến đây xét ra 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 30-03-2015 - 21:56

[vda2000]

Câu 3.2:

Ta có: $PT\Leftrightarrow z=\frac{x^2+2}{xy+2}$

Vì $z$ nguyên nên $x^2+2\vdots xy+2\Rightarrow x^2y+2x+2y-2x\vdots xy+2\Rightarrow$ $2y-2x$ $\vdots xy+2\Rightarrow 2y-2x\geq xy+2$

Mà $x$ nguyên dương nên $2x+2y> 2y-2x\geq xy+2\Leftrightarrow (x-2)(y-2)< 2$

Đến đây xét ra 

$x^2+2\vdots xy+2$ nên$x^2+2\geq xy+2$ nên $x^2\geq xy$ nên $x\geq y$ suy ra $2y-2x<0$ đâu suy ra được vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 30-03-2015 - 21:55

[toanthcs2302]

đề dự bị còn khó hơn đề chính thức

[Maonus]

$x^2+2\vdots xy+2$ nên$x^2+2\geq xy+2$ nên $x^2\geq xy$ nên $x\geq y$ suy ra $2y-2x<0$ đâu suy ra được vậy?

Đc phép mà :V