SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
THANH HÓA Năm học: 2014-2015
ĐỀ DỰ BỊ Môn thi: TOÁN
Ngày thi 25/03/2015
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.
Câu I (4 điểm):
1. Rút gọn biểu thức :$A=\left ( \frac{1}{\sqrt{a}-1} -\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-1}\right ):\left ( 1-\frac{2\sqrt{a}}{a+1} \right )$ với $0\leq a;a\neq 1$
2.Cho $b=\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}}$.Tính giá trị biểu thức:$B=(b^4-b^3-b^2+3b-4)^{11}-33$
Câu II (4 điểm ):
1.Tìm $m$ để phương trình $x^4-2mx^2+36=0$ có bốn nghiệm phân biệt $x_1< x_2<x_3<x_4$ thỏa mãn $x_1-x_2=x_2-x_3=x_3-x_4$
2.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2+3x=\frac{8}{y^3} & & \\ x^3-2=\frac{6}{y} & & \end{matrix}\right.$
Câu III ( 4 điểm):
1.Cho hai số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn tìm được số nguyên c sao cho $a^2+b^2+c^2$ là số chính phương
2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y ; z) thỏa mãn:$xyz=x^2-2z+2$
Câu IV (6 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left ( \omega \right )$ và điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó.Các điểm $A',B',C'$ lần lượt là giao của $AI,BI,CI$ với $\left ( \omega \right )$. Trên cung $AC$ của $\left ( \omega \right )$ không chứa đỉnh $B$ lấy điểm $D$ bất kì. Gọi $E$ là giao của $DC'$ với $AA'$ , $F$ là giao của $DA'$ với $CC'$. Chứng minh rằng:
1. $I$ là trực tâm của tam giác $A'B'C'$
2. Tứ giác $DEIF$ nội tiếp một đường tròn.
3. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu V ( 2 điểm)
Cho ba số dương $x, y, z$ thay đổi thoả mãn điều kiện: $x + 2y + 3z = 3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $Q=\frac{88y^3-x^3}{2xy+16y^2}+\frac{297z^3-8y^3}{6zy+36z^2}+\frac{11x^3-27z^3}{3xz+4x^2}$
------------------ Hết------------------
Họ tên thí sinh: ………………………………………
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
P/s:Có vẻ đề dự bị còn khó hơn đề chính thức