Đến nội dung

Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên đề}}$: Phương trình bậc hai và một số ứng dụng

* * * * * 10 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 102 trả lời

#61
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 30: Chứng minh rằng nếu $a_{1},a_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}+px+1=0$ và $b_{1},b_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}+qx+1=0$ thì $\left ( a_{1}-b_{1} \right )\left ( a_{2}-b_{1} \right )\left ( a_{1}+b_{2} \right )\left ( a_{2}+b_{2} \right )=q^{2}-p^{2}$



#62
TranNghia9a

TranNghia9a

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Bài 30: Chứng minh rằng nếu $a_{1},a_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}+px+1=0$ và $b_{1},b_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}+qx+1=0$ thì $\left ( a_{1}-b_{1} \right )\left ( a_{2}-b_{1} \right )\left ( a_{1}+b_{2} \right )\left ( a_{2}+b_{2} \right )=q^{2}-p^{2}$

áp dụng hệ thức vietè

$\left\{\begin{matrix} a_{1}+a_{2}=-p & & \\ a_{1}.a_{2}=1 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} b_{1}+b_{2}=-q & & \\ b_{1}.b_{2}=1 & & \end{matrix}\right.$

$\left ( a_{1}-b_{1} \right )\left ( a_{2}-b_{1} \right )\left ( a_{1}+b_{2} \right )\left ( a_{2}+b_{2} \right )=(a_{1}.a_{2}+a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}-b_{1}.b_{2})(a_{1}.a_{2}+a_{2}.b_{2}-a_{1}.b_{1}-b_{1}.b_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(a_{2}b_{2}-a_{1}.b_{1})=(b_{2})^{2}-(a_{1})^{2}-(a_{2})^{2}+(b_{1})^{2}=(b_{1}+b_{2})^{2}-2-(a_{1}+a_{2})^{2}+2=q^{2}-p^{2}$

 

 

 

vì nick duy tạm khóa nên lấy nick này :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TranNghia9a: 13-04-2015 - 11:32


#63
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 31: Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ ($a\neq 0$) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}=x_{2}^{2}$

Chứng minh rằng $b^{3}+a^{2}c+ac^{2}=3abc$



#64
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Bài 31: Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ ($a\neq 0$) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}=x_{2}^{2}$

Chứng minh rằng $b^{3}+a^{2}c+ac^{2}=3abc$

Bổ đề: Nếu $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

   $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.$

Vì $x_1=x_2^2$ nên $x_2^3=\frac{c}{a}\Rightarrow x_2=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$

 $\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{c^2}{a^2}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}=\frac{-b}{a}\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{c^2}{a^2}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}+\frac{b}{a}=0\Rightarrow \frac{c^2}{a^2}+\frac{c}{a}+\frac{b^3}{a^3}=3.\frac{bc}{a^2}\Rightarrow c^2a+ca^2+b^3=3abc$



#65
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 32: Tìm nghiệm của phương trình $x^{2}+px+q=0$, biết rằng chúng là số nguyên và p + q = 198



#66
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Bài 32: Tìm nghiệm của phương trình $x^{2}+px+q=0$, biết rằng chúng là số nguyên và p + q = 198

Gọi 2 nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$  ( $x_1\geq x_2$ )

 Theo Vi-ét ta có:

  $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-p\\ x_1x_2=q \end{matrix}\right.$

  $\Rightarrow x_1x_2-x_1-x_2=198\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=199\Rightarrow \begin{bmatrix} x_1=200;x_2=2\\ x_1=0;x_2=-198 \end{bmatrix}$



#67
congdaoduy9a

congdaoduy9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Bài 33: Cho pt $ax^{2}+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2.$ CMR : $b^{3}+a^{2}c+ac^{2}=3abc$ thì $x_1=x_2^{2}$ hoặc $x_2=x_1^{2}$ (Đề đảo của bài 31).

Bài 34 : Tìm đk của m để pt $x^{2}+2(m+1)x+2m-11$ có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1.

Bài 35:Với giá trị nào của k thì pt :

$kx^{2}+(2k-1)x+k-2$ có các nghiệm là số hữu tỉ.

Các bạn post đề đi chứ để hachinh post không z ? Ai cũng có thể post mà  :icon6:



#68
Vito Khang Scaletta

Vito Khang Scaletta

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 210 Bài viết

Bài 34 : Tìm đk của m để pt $x^{2}+2(m+1)x+2m-11$ (1) có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1.

$\Delta'=m^{2}+12> 0;\forall m\in R \Rightarrow$ Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lý $Viet$, ta có: $\left\{\begin{matrix} S=x_{1}+x_{2}=-2m-2 \\ P=x_{1}.x_{2}=2m-11 \end{matrix}\right.$

Không mất tính tổng quát của bài toán, ta giả sử $x_{1}>x_{2}$

Phương trình (1) có 1 nghiẹm lớn hơn 1 vá 1 nghiệm nhỏ hơn 1 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}>1 \\ x_{2}<1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x_{1}-1)(x_{2}-1)<0\Leftrightarrow P-S+1<0$

$\Leftrightarrow 2m-11-(-2m-2)+1<0 \Leftrightarrow m<2$

Vậy phươn trình có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm bé hơn 1 thì $m\in (-\infty;2)$.


$\sqrt{MF}$

>! Vietnamese Mathematical Forum !<


#69
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 36: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất $x^{2}-2mx+(m+1)\left | x-m \right |+1=0$



#70
Vito Khang Scaletta

Vito Khang Scaletta

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 210 Bài viết

Bài 36: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất $x^{2}-2mx+(m+1)\left | x-m \right |+1=0$ (1)

* Xét $TH_{1}: x>m$, ta có $(1)\Leftrightarrow x^{2}-(m-1)x-m^{2}-m+1=0$

Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta =5m^{2}-2m-3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m=1 \\ m=\frac{-3}{5} \end{bmatrix}$

- Với $m=1\Rightarrow x=0$ (loại)

- Với $m=\frac{-3}{5}\Rightarrow x=\frac{-4}{5}$ (loại)

* Xét $TH_{2}: x=m$, thay vào (1), ta có (1) mất đi ân $x\Rightarrow$ Phương trình ko thể có nghiệm duy nhất.

* Xét $TH_{2}: x<m$, ta có $(1)\Leftrightarrow x^{2}-(3m+1)x+m^{2}+m+1=0$

Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta =5m^{2}+2m=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m=0 \\ m=\frac{-2}{5} \end{bmatrix}$

- Với $m=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}>m$ (loại)

- Với $m=\frac{-2}{5}\Rightarrow x=\frac{-1}{10}>m$ (loại)

Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình có nghiệm duy nhất.

 

P/s: Bài đúng không vậy mọi người @@ Thấy co vẻ hư cấu quá ~~


$\sqrt{MF}$

>! Vietnamese Mathematical Forum !<


#71
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 36: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất $x^{2}-2mx+(m+1)\left | x-m \right |+1=0$

 

Phương trình tương đương $(x-m)^{2}+(m-1)\left | x-m \right |+1-m^{2}=0$ (1)

Đặt $X=\left | x-m \right |,X\geq 0\Rightarrow X^{2}+(m+1)X+1-m^{2}=0$ (2)

Với một nghiệm X > 0 ta có 2 nghiệm $x=\pm X+m$. Với X = 0 ta có một nghiệm x = m. Do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm $X_{1}\leq X_{2}=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P=0 & \\ S\leq 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-m^{2} =0& \\ -m-1\leq 0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\pm 1$



#72
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 37: Chứng minh rằng nếu phương trình $x^{2}+mx+n=0$ có nghiệm thì phương trình $x^{2}+\left ( a+\frac{1}{a} \right )mx+n\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}=0$ cũng có nghiệm



#73
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Bài 37: Chứng minh rằng nếu phương trình $x^{2}+mx+n=0$ có nghiệm thì phương trình $x^{2}+\left ( a+\frac{1}{a} \right )mx+n\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}=0$ cũng có nghiệm

Bài nãy cũng đặt và làm như đây



#74
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 38: Giả sử $x_{1},x_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}-ax+1=0$. Tính $P=x_{1}^{7}+x_{2}^{7}$ theo a



#75
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Bài 38: Giả sử $x_{1},x_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}-ax+1=0$. Tính $P=x_{1}^{7}+x_{2}^{7}$ theo a

ĐK: $a^2\geq 4$

Theo hệ thức Vi-ét thì $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=a\\ x_1x_2=1 \end{matrix}\right.$

 

Ta có:    $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-2$

             

              $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=a^3-3a$

              

              $x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2=(a^2-2)^2-2=a^4-4a^2+2$

 

    $\Rightarrow (x_1^3+x_2^3)(x_1^4+x_2^4)=(a^4-4a^2+2).(a^3-3a) $

 

    $\Leftrightarrow x_1^7+x_2^7+(x_1x_2)^3.(x_1+x_2)=a^7-7a^5+14a^3-6a $

 

    $\Leftrightarrow x_1^7+x_2^7+a=a^7-7a^5+14a^3-6a$

 

    $\Leftrightarrow x_1^7+x_2^7=a^7-7a^5+14a^3-7a$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 17-04-2015 - 11:56


#76
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 39: Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận $m=\sqrt[7]{\frac{3}{5}}+\sqrt[7]{\frac{5}{3}}$ làm nghiệm



#77
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Bài 39: Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận $m=\sqrt[7]{\frac{3}{5}}+\sqrt[7]{\frac{5}{3}}$ làm nghiệm

Bài toán đã có ở đây



#78
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 40: Tìm m để phương trình $x-\sqrt{1-x^{2}}=m$ có nghiệm duy nhất



#79
HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
 

 

Bài 40: Tìm m để phương trình $x-\sqrt{1-x^{2}}=m$ có nghiệm duy nhất

xem đáp án tại

http://diendantoanho...t-của-m-là-mấy/


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#80
congdaoduy9a

congdaoduy9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Bài 41: Tìm gt của a để 2 pt sau có ít nhất 1 nghiệm chung :

$x^{2}+ax+8=0(1)$

$x^{2}+x+a=0(2)$

Bài 42: Tìm m để pt : $x^{2}-4\left | x \right |+m=0$ có 1 nghiệm duy nhất

(À mà đăng mấy bài giải pt  bậc cao được hả ??? Đây là topic pt bậc 2 thôi sao thấy có cả bậc 3 , bậc 4 thế <_< ~~)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 18-04-2015 - 20:19





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh