Bài 30: Chứng minh rằng nếu $a_{1},a_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}+px+1=0$ và $b_{1},b_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}+qx+1=0$ thì $\left ( a_{1}-b_{1} \right )\left ( a_{2}-b_{1} \right )\left ( a_{1}+b_{2} \right )\left ( a_{2}+b_{2} \right )=q^{2}-p^{2}$
$\boxed{\text{Chuyên đề}}$: Phương trình bậc hai và một số ứng dụng
#61
Đã gửi 13-04-2015 - 04:57
#62
Đã gửi 13-04-2015 - 11:31
Bài 30: Chứng minh rằng nếu $a_{1},a_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}+px+1=0$ và $b_{1},b_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}+qx+1=0$ thì $\left ( a_{1}-b_{1} \right )\left ( a_{2}-b_{1} \right )\left ( a_{1}+b_{2} \right )\left ( a_{2}+b_{2} \right )=q^{2}-p^{2}$
áp dụng hệ thức vietè
$\left\{\begin{matrix} a_{1}+a_{2}=-p & & \\ a_{1}.a_{2}=1 & & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} b_{1}+b_{2}=-q & & \\ b_{1}.b_{2}=1 & & \end{matrix}\right.$
$\left ( a_{1}-b_{1} \right )\left ( a_{2}-b_{1} \right )\left ( a_{1}+b_{2} \right )\left ( a_{2}+b_{2} \right )=(a_{1}.a_{2}+a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}-b_{1}.b_{2})(a_{1}.a_{2}+a_{2}.b_{2}-a_{1}.b_{1}-b_{1}.b_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(a_{2}b_{2}-a_{1}.b_{1})=(b_{2})^{2}-(a_{1})^{2}-(a_{2})^{2}+(b_{1})^{2}=(b_{1}+b_{2})^{2}-2-(a_{1}+a_{2})^{2}+2=q^{2}-p^{2}$
vì nick duy tạm khóa nên lấy nick này
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TranNghia9a: 13-04-2015 - 11:32
- Ngoc Hung, congdaoduy9a và Congnghiaky298 thích
#63
Đã gửi 13-04-2015 - 11:34
Bài 31: Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ ($a\neq 0$) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}=x_{2}^{2}$
Chứng minh rằng $b^{3}+a^{2}c+ac^{2}=3abc$
- congdaoduy9a và didifulls thích
#64
Đã gửi 13-04-2015 - 11:50
Bài 31: Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ ($a\neq 0$) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}=x_{2}^{2}$
Chứng minh rằng $b^{3}+a^{2}c+ac^{2}=3abc$
Bổ đề: Nếu $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.$
Vì $x_1=x_2^2$ nên $x_2^3=\frac{c}{a}\Rightarrow x_2=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{c^2}{a^2}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}=\frac{-b}{a}\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{c^2}{a^2}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}+\frac{b}{a}=0\Rightarrow \frac{c^2}{a^2}+\frac{c}{a}+\frac{b^3}{a^3}=3.\frac{bc}{a^2}\Rightarrow c^2a+ca^2+b^3=3abc$
- Ngoc Hung, congdaoduy9a và didifulls thích
#65
Đã gửi 13-04-2015 - 12:15
Bài 32: Tìm nghiệm của phương trình $x^{2}+px+q=0$, biết rằng chúng là số nguyên và p + q = 198
- congdaoduy9a yêu thích
#66
Đã gửi 13-04-2015 - 12:32
Bài 32: Tìm nghiệm của phương trình $x^{2}+px+q=0$, biết rằng chúng là số nguyên và p + q = 198
Gọi 2 nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$ ( $x_1\geq x_2$ )
Theo Vi-ét ta có:
$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-p\\ x_1x_2=q \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x_1x_2-x_1-x_2=198\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=199\Rightarrow \begin{bmatrix} x_1=200;x_2=2\\ x_1=0;x_2=-198 \end{bmatrix}$
- leminhansp, Ngoc Hung và congdaoduy9a thích
#67
Đã gửi 13-04-2015 - 21:33
Bài 33: Cho pt $ax^{2}+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2.$ CMR : $b^{3}+a^{2}c+ac^{2}=3abc$ thì $x_1=x_2^{2}$ hoặc $x_2=x_1^{2}$ (Đề đảo của bài 31).
Bài 34 : Tìm đk của m để pt $x^{2}+2(m+1)x+2m-11$ có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
Bài 35:Với giá trị nào của k thì pt :
$kx^{2}+(2k-1)x+k-2$ có các nghiệm là số hữu tỉ.
Các bạn post đề đi chứ để hachinh post không z ? Ai cũng có thể post mà
- Ngoc Hung và Congnghiaky298 thích
#68
Đã gửi 13-04-2015 - 23:07
Bài 34 : Tìm đk của m để pt $x^{2}+2(m+1)x+2m-11$ (1) có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
$\Delta'=m^{2}+12> 0;\forall m\in R \Rightarrow$ Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Theo định lý $Viet$, ta có: $\left\{\begin{matrix} S=x_{1}+x_{2}=-2m-2 \\ P=x_{1}.x_{2}=2m-11 \end{matrix}\right.$
Không mất tính tổng quát của bài toán, ta giả sử $x_{1}>x_{2}$
Phương trình (1) có 1 nghiẹm lớn hơn 1 vá 1 nghiệm nhỏ hơn 1 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}>1 \\ x_{2}<1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x_{1}-1)(x_{2}-1)<0\Leftrightarrow P-S+1<0$
$\Leftrightarrow 2m-11-(-2m-2)+1<0 \Leftrightarrow m<2$
Vậy phươn trình có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm bé hơn 1 thì $m\in (-\infty;2)$.
- Ngoc Hung và congdaoduy9a thích
$\sqrt{MF}$
>! Vietnamese Mathematical Forum !<
#69
Đã gửi 14-04-2015 - 04:57
Bài 36: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất $x^{2}-2mx+(m+1)\left | x-m \right |+1=0$
- congdaoduy9a yêu thích
#70
Đã gửi 14-04-2015 - 09:35
Bài 36: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất $x^{2}-2mx+(m+1)\left | x-m \right |+1=0$ (1)
* Xét $TH_{1}: x>m$, ta có $(1)\Leftrightarrow x^{2}-(m-1)x-m^{2}-m+1=0$
Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta =5m^{2}-2m-3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m=1 \\ m=\frac{-3}{5} \end{bmatrix}$
- Với $m=1\Rightarrow x=0$ (loại)
- Với $m=\frac{-3}{5}\Rightarrow x=\frac{-4}{5}$ (loại)
* Xét $TH_{2}: x=m$, thay vào (1), ta có (1) mất đi ân $x\Rightarrow$ Phương trình ko thể có nghiệm duy nhất.
* Xét $TH_{2}: x<m$, ta có $(1)\Leftrightarrow x^{2}-(3m+1)x+m^{2}+m+1=0$
Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta =5m^{2}+2m=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m=0 \\ m=\frac{-2}{5} \end{bmatrix}$
- Với $m=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}>m$ (loại)
- Với $m=\frac{-2}{5}\Rightarrow x=\frac{-1}{10}>m$ (loại)
Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình có nghiệm duy nhất.
P/s: Bài đúng không vậy mọi người @@ Thấy co vẻ hư cấu quá ~~
- Ngoc Hung và congdaoduy9a thích
$\sqrt{MF}$
>! Vietnamese Mathematical Forum !<
#71
Đã gửi 16-04-2015 - 09:38
Bài 36: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất $x^{2}-2mx+(m+1)\left | x-m \right |+1=0$
Phương trình tương đương $(x-m)^{2}+(m-1)\left | x-m \right |+1-m^{2}=0$ (1)
Đặt $X=\left | x-m \right |,X\geq 0\Rightarrow X^{2}+(m+1)X+1-m^{2}=0$ (2)
Với một nghiệm X > 0 ta có 2 nghiệm $x=\pm X+m$. Với X = 0 ta có một nghiệm x = m. Do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm $X_{1}\leq X_{2}=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P=0 & \\ S\leq 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-m^{2} =0& \\ -m-1\leq 0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\pm 1$
- congdaoduy9a yêu thích
#72
Đã gửi 16-04-2015 - 09:40
Bài 37: Chứng minh rằng nếu phương trình $x^{2}+mx+n=0$ có nghiệm thì phương trình $x^{2}+\left ( a+\frac{1}{a} \right )mx+n\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}=0$ cũng có nghiệm
- congdaoduy9a yêu thích
#73
Đã gửi 16-04-2015 - 11:21
Bài 37: Chứng minh rằng nếu phương trình $x^{2}+mx+n=0$ có nghiệm thì phương trình $x^{2}+\left ( a+\frac{1}{a} \right )mx+n\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}=0$ cũng có nghiệm
Bài nãy cũng đặt và làm như đây
- congdaoduy9a yêu thích
#74
Đã gửi 17-04-2015 - 09:29
Bài 38: Giả sử $x_{1},x_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}-ax+1=0$. Tính $P=x_{1}^{7}+x_{2}^{7}$ theo a
- congdaoduy9a yêu thích
#75
Đã gửi 17-04-2015 - 11:53
Bài 38: Giả sử $x_{1},x_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}-ax+1=0$. Tính $P=x_{1}^{7}+x_{2}^{7}$ theo a
ĐK: $a^2\geq 4$
Theo hệ thức Vi-ét thì $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=a\\ x_1x_2=1 \end{matrix}\right.$
Ta có: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-2$
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=a^3-3a$
$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2=(a^2-2)^2-2=a^4-4a^2+2$
$\Rightarrow (x_1^3+x_2^3)(x_1^4+x_2^4)=(a^4-4a^2+2).(a^3-3a) $
$\Leftrightarrow x_1^7+x_2^7+(x_1x_2)^3.(x_1+x_2)=a^7-7a^5+14a^3-6a $
$\Leftrightarrow x_1^7+x_2^7+a=a^7-7a^5+14a^3-6a$
$\Leftrightarrow x_1^7+x_2^7=a^7-7a^5+14a^3-7a$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 17-04-2015 - 11:56
- Ngoc Hung và congdaoduy9a thích
#76
Đã gửi 17-04-2015 - 12:02
Bài 39: Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận $m=\sqrt[7]{\frac{3}{5}}+\sqrt[7]{\frac{5}{3}}$ làm nghiệm
- congdaoduy9a yêu thích
#78
Đã gửi 17-04-2015 - 12:33
Bài 40: Tìm m để phương trình $x-\sqrt{1-x^{2}}=m$ có nghiệm duy nhất
- HoangVienDuy và congdaoduy9a thích
#79
Đã gửi 18-04-2015 - 18:29
Bài 40: Tìm m để phương trình $x-\sqrt{1-x^{2}}=m$ có nghiệm duy nhất
xem đáp án tại
http://diendantoanho...t-của-m-là-mấy/
- congdaoduy9a, Congnghiaky298 và NguyenDucLoc thích
Có một người đi qua hoa cúc
Có hai người đi qua hoa cúc
Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...
#80
Đã gửi 18-04-2015 - 20:19
Bài 41: Tìm gt của a để 2 pt sau có ít nhất 1 nghiệm chung :
$x^{2}+ax+8=0(1)$
$x^{2}+x+a=0(2)$
Bài 42: Tìm m để pt : $x^{2}-4\left | x \right |+m=0$ có 1 nghiệm duy nhất
(À mà đăng mấy bài giải pt bậc cao được hả ??? Đây là topic pt bậc 2 thôi sao thấy có cả bậc 3 , bậc 4 thế ~~)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 18-04-2015 - 20:19
- rainbow99, HoangVienDuy và Congnghiaky298 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh