SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 31/03/2015
Bài 1: 1) Cho biểu thức $P=\left ( 1+\frac{\sqrt{a}}{a+1} \right ):\left ( \frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-1} \right )$
a) Tìm điều kiện của a để P có nghĩa. Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P > 1
c) Tìm giá trị của P biết $a=2015-2\sqrt{2014}$
2) Tìm GTLN và GTNN của $Q=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-x+1}$
Bài 2: 1) Cho phương trình $x^{2}-2mx+2m^{2}-1=0$ (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn $x_{1}^{3}-x_{1}^{2}+x_{2}^{3}-x_{2}^{2}=-2$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{8xy}{x+y}=16 & \\ \sqrt{x^{2}+12}+\frac{5}{2}\sqrt{x+y}=3x+\sqrt{x^{2}+5} & \end{matrix}\right.$
Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính EF. Vẽ tia Ot vuông góc với EF. Tia Ot cắt nửa đường tròn tại I. Lấy điểm A trên tia Ot sao cho IA = IO. Vẽ hai tiếp tuyến AP, AQ (P, Q là các tiếp điểm) với nửa đường tròn chúng cắt EF lần lượt tại B và C
a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều
b) Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại S thuộc cung PQ (S không trùng với P, Q, I) cắt AP, AC lần lượt tại H, K. PQ cắt OH, OK lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng M, O, Q, K cùng thuộc 1 đường tròn
c) Chứng minh rằng HK = 2.MN
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của các góc A, B, C cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại D, E, F.
a) Chứng minh rằng: 2.AD > AB + AC
b) Chứng minh rằng: AD + BE + CF lớn hơn chu vi tam giác ABC
Bài 5: a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}+2y^{2}+3xy-x-y+3=0$
b) Chứng minh rằng $2n^{3}+3n^{2}+n$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên n