Chủ đề này có 9 trả lời

[Viet Hoang 99]

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

1) $\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}=\frac{2}{\cos \frac{C}{2}}$

2) $\left ( \tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2} \right )^2+\left ( \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2} \right )^2=8$

3) $3S=2R^2.\sum \sin^3 A$

4) $\sum \frac{1}{\sin A}=\sum \frac{1}{\cos \frac{A}{2}}$

5) $\sum \frac{1}{\cos A}=\sum \frac{1}{\sin \frac{A}{2}}$ (tam giác nhọn)

6) $\sum \frac{1}{\cot A+\cot B}=\sum \sin A$

7) $\sum \sqrt{\sin A}=\sum \sqrt{\cos \frac{A}{2}}$

8) $\sum \sqrt[3]{\sin A}=\sum \sqrt[3]{\cos \frac{A}{2}}$

9) $\sum \frac{\sin A}{m_a}=\sqrt{3}$ $(R=1)$

10) $\sum \frac{1}{2+\cos 2A}=\frac{5}{6}$

[duaconcuachua98]

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

1) $\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}=\frac{2}{\cos \frac{C}{2}}$

$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}\geq \frac{4}{\sin A+\sin B}=\frac{2}{\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}\geq \frac{2}{\cos \frac{C}{2}}$

Vậy $sinA=sinB\Leftrightarrow A=B$ suy ra tam giác cân tại $C$

[nguyenhongsonk612]

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

 

3) $3S=2R^2.\sum \sin^3 A$

 

Sử dụng công thức $S=2R^2sinAsinBsinC$

$GT\Leftrightarrow sin^3A+sin^3B+sin^3C=3sinAsinBsinC$

Do $A,B,C$ là ba góc trong một tam giác nên $sinA,sinB,sinC>0$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có $\sum sin^3A\geq 3sinAsinBsinC$

Dấu "=" xảy ra khi $sinA=sinB=sinC\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 31-03-2015 - 22:51

[nguyenhongsonk612]

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

 

9) $\sum \frac{\sin A}{m_a}=\sqrt{3}$ $(R=1)$

 

Thay thế $sinA=\frac{a}{2R}=\frac{a}{2};m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$

$GT\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2(2b^2+2c^2-a^2)}}=\sqrt{3}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\sum \frac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2(2b^2+2c^2-a^2)}}\geq \frac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều có độ dài cạnh là $\sqrt{3}$

[nguyenhongsonk612]

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

 

7) $\sum \sqrt{\sin A}=\sum \sqrt{\cos \frac{A}{2}}$

 

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có

$VT^2\leq 3\begin{pmatrix} \sum sinA \end{pmatrix}=12cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

Vì $sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

Theo $AM-GM$ ta có 

$VP^2\geq 9\sqrt[3]{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}$

Ta sẽ đi C/m $VT \leq VP$

Vì vậy ta cần C/m $64cos^{2}\frac{A}{2}cos^{2}\frac{B}{2}cos^{2}\frac{C}{2}\leq 27$

Ta có BĐT sau $cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$ $(*)$

nên ta sẽ có đpcm

Từ đó sẽ nhận dạng được $\Delta ABC$

--------

Chứng minh BĐT $(*)$

Dễ thấy $\frac{A}{2};\frac{B}{2};\frac{C}{2}< 90^{o}$

Áp dụng BĐT $cosA'+cosB'\leq 2cos\frac{A'+B'}{2}$ với $A',B'$ là những góc nhọn, ta có

$cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}\leq 2cos\frac{\frac{A+B}{2}}{2}$

$cos\frac{C}{2}+cos\frac{\pi}{6}\leq 2cos\frac{\frac{C}{2}+\frac{\pi}{6}}{2}$

$\Rightarrow \sum cos\frac{A}{2}\leq 3cos\frac{\pi}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\leq \begin{pmatrix} \frac{\sum cos\frac{A}{2}}{3} \end{pmatrix}^3\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 31-03-2015 - 23:59

[nguyenhongsonk612]

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

 

8) $\sum \sqrt[3]{\sin A}=\sum \sqrt[3]{\cos \frac{A}{2}}$

 

Xin mọi người cho phép em làm từng bài một vì em nghĩ đến đâu trình bày đến đấy ạ. Em xin cảm ơn ạ!

Tương tự ý tưởng của bài $7$ ta làm như sau

Áp dụng BĐT Holder ta có $VT^3\leq 9(\sum sinA)$

Theo $AM-GM$ thì $VP^3\geq 27\sqrt[3]{\prod cos\frac{A}{2}}=27\sqrt[3]{\frac{\sum sinA}{4}}$

Ta muốn C/m $VT\leq VP$ thì bây giờ ta C/m

$9(\sum sinA)\leq 27\sqrt[3]{\frac{\sum sinA}{4}}\Leftrightarrow \sum sinA\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$ (đúng)

Vậy $\Delta ABC$ đều

[LzuTao]

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

2) $\left ( \tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2} \right )^2+\left ( \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2} \right )^2=8$

Đặt $a=\tan\frac{A}{2}>0, b=\tan\frac{B}{2}>0$, ta có:

$VT=(a+b)^2+\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}\right )^2\ge (a+b)^2+\left ( \frac{4}{a+b} \right )^2\ge 2\sqrt{(a+b)^2\left ( \frac{4}{a+b} \right )^2}=8$

Đẳng thức xảy ra $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a} =\frac{1}{b} \\ a+b=\frac{4}{a+b}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow A=B=\frac{\pi}{2}$

Vậy không tồn tại $\triangle ABC$ thoả mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 04-08-2015 - 11:48

[LzuTao]

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

6) $\sum \frac{1}{\cot A+\cot B}=\sum \sin A$

Đặt $a=\sin A, b=\sin B, c=\sin C$

Ta có: $$\cot A+\cot B=\frac{\sin C}{\sin A\sin B}=\frac{c}{ab}$$

Suy ra $\sum \frac{1}{\cot A+\cot B}=\sum \frac{ab}{c}$

Ta có: $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2b$

Làm tương tự và cộng từng vế ta được: $\sum \frac{1}{\cot A+\cot B}\ge \sum \sin A$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=c^2\\b^2=a^2 \\b^2=c^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c$

Vậy $\triangle ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 04-08-2015 - 11:49

[LzuTao]

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

10) $\sum \frac{1}{2+\cos 2A}=\frac{5}{6}$

Bạn xem lại đề thử vì ta có:

$$\sum \frac{1}{2+\cos 2A} > \sum \frac{1}{2+1}=1>\frac{5}{6}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 04-08-2015 - 09:50

[LzuTao]

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

4) $\sum \frac{1}{\sin A}=\sum \frac{1}{\cos \frac{A}{2}}$

5) $\sum \frac{1}{\cos A}=\sum \frac{1}{\sin \frac{A}{2}}$ (tam giác nhọn)

4) $\sum \frac{1}{\sin A}=\sum \frac{1}{\cos \frac{A}{2}}$

Ta có: $\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}\ge \frac{4}{\sin A+\sin B}=\frac{2}{\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}}\ge \frac{2}{\cos\frac{C}{2}}$

Làm tương tự, cộng từng vế và thu gọn được:

$$\sum \frac{1}{\sin A}\ge \sum \frac{1}{\cos \frac{A}{2}}$$

Dấu $=$ xảy ra $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sin A}=\frac{1}{\sin B}=\frac{1}{\sin C}\\\cos\frac{A-B}{2}=\cos\frac{B-C}{2}=\cos\frac{C-A}{2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A=B=C=60^0$

Vậy $\triangle ABC$ đều.

 

5) $\sum \frac{1}{\cos A}=\sum \frac{1}{\sin \frac{A}{2}}$ (tam giác nhọn)

Vì $\triangle ABC$ nhọn nên $\cos A, \cos B, \cos  C>0$

Làm tương tự câu trên:

$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}\ge \frac{4}{\cos A+\cos B}\ge \frac{2}{\sin\frac{C}{2}}$

$\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}\ge \frac{4}{\cos B+\cos C}\ge \frac{2}{\sin\frac{A}{2}}$

$\frac{1}{\cos C}+\frac{1}{\cos A}\ge \frac{4}{\cos C+\cos A}\ge \frac{2}{\sin\frac{B}{2}}$

Cộng từng vế và thu gọn $\Rightarrow \sum \frac{1}{\cos A}\ge \sum \frac{1}{\sin \frac{A}{2}}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\cos A}=\frac{1}{\cos B}=\frac{1}{\cos C}\\\cos\frac{A-B}{2}=\cos\frac{B-C}{2}=\cos\frac{C-A}{2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A=B=C=60^0$

Vậy $\triangle ABC$ đều.