Chứng minh rằng $2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ với $n\in \mathbb{Z},n\geq 1$
Chứng minh rằng $2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ với $n\in \mathbb{Z},n\geq 1$
Bắt đầu bởi yeudiendanlamlam, 31-03-2015 - 21:05
#2
Đã gửi 31-03-2015 - 21:19
hoctrocuaZel
-
- Thành viên
-
- 1162 Bài viết
Thượng úy
Chứng minh rằng $2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ với $n\in \mathbb{Z},n\geq 1$
Dễ có: $LHS=2^2(1+2^2+3^2+...+n^2)=4.\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=RHS$
- Ngoc Hung, halloffame, Duong Nhi và 1 người khác yêu thích
Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#3
Đã gửi 31-03-2015 - 21:26
Hoang Nhat Tuan
-
- Thành viên
-
- 974 Bài viết
Hỏa Long
Ta có: $2^{2}+4^{2}+...+2n^{2}=4(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})$
Xét hằng đẳng thức $\left ( x+1 \right )^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$
Ta có: $2^{3}=1^{3}+3.1^{2}+3.1+1$
$3^{3}=2^{3}+3.2^{2}+3.2+1$
...
$\left ( n+1 \right )^{3}=n^{3}+3n^{2}+3n+1$
Cộng từng vế n hằng đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được
$\left ( n+1 \right )^{3}=1^{3}+3(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+3(1+2+...+n)+n$
Do đó $3\left ( 1^{2} +2^{2}+...+n^{2}\right )$
=$\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$
Từ đó các bạn giải tiếp là ra điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 31-03-2015 - 21:34
- Ngoc Hung, Glue, yeudiendanlamlam và 3 người khác yêu thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#4
Đã gửi 01-04-2015 - 12:31
yeudiendanlamlam
-
- Thành viên
-
- 143 Bài viết
Trung sĩ
Ta có: $2^{2}+4^{2}+...+2n^{2}=4(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})$
Xét hằng đẳng thức $\left ( x+1 \right )^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$
Ta có: $2^{3}=1^{3}+3.1^{2}+3.1+1$
$3^{3}=2^{3}+3.2^{2}+3.2+1$
...
$\left ( n+1 \right )^{3}=n^{3}+3n^{2}+3n+1$
Cộng từng vế n hằng đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được
$\left ( n+1 \right )^{3}=1^{3}+3(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+3(1+2+...+n)+n$
Do đó $3\left ( 1^{2} +2^{2}+...+n^{2}\right )$
=$\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$
Từ đó các bạn giải tiếp là ra điều phải chứng minh
Mình chưa hiểu chỗ này $3\left ( 1^{2} +2^{2}+...+n^{2}\right )=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$
#5
Đã gửi 01-04-2015 - 13:35
Hoang Nhat Tuan
-
- Thành viên
-
- 974 Bài viết
Hỏa Long
Bạn ơi, bạn lấy $3(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})=(n+1)^{3}-(n+1)-3(1+2+...+n)$
$3(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})=(n+1)^{3}-(n+1)-\frac{3n(n+1)}{2}$
=$(n+1)\left [ (n+1)^{2} -\frac{3n}{2}-1\right ]=(n+1)(n^{2}+\frac{n}{2})$
=$\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$
- yeudiendanlamlam và Dragon ball thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
