Chủ đề này có 8 trả lời

[SweetCandy11]

Bài 1 : Cho $a, b, c >0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh $b+c \geq 16abc$

 

Bài 2: Cho $a, b >0$ và $a+b=1$. Chứng minh $a^2+b^2+\frac{1}{ab}\geq \frac{9}{2}$

 

Bài 3: Cho 2 số $x,y$ có tổng bằng 2. Tìm GTNN của $P= x^4+y^4$

 

Bài 4: Cho hai số dương $x,y $ thỏa mãn $ x+y=2003$.  Tìm GTNN, GTLN của $P=x(x^2+y)+y(y^2+x)$

 

Bài 5: Cho $x, y$ là hai số dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của :

a) $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}$                                   b) $B=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}$

 

Bài 6: Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của:

a) $x+ \frac{1}{4x}$

 

b) $xy+\frac{1}{xy}$ với $x+y=1$

 

c)$x^2+y^2+\frac{1}{xy}$ với $x+y=2$

 

d) $x+y+\frac{1}{xy}$

[A piece of life]

Bài 1 : $1 = (a+b+c)^2 \ge 8a\sqrt{bc}$ ( vì $a+b+c \ge 4\sqrt[4]{\frac{a^2bc}{4}}$ )

$\to b+c \ge 2\sqrt{bc} \ge 16abc$

 

Bài 3 : $8(x^4+y^4) \ge (2x^2+2y^2)^2 \ge  (x+y)^4 = 16 \to x^4+y^4 \ge 2$

 

Bài 4 : Thay $y=2013-x$ vào P ( Số hơi to @@! )

Bài 2,5,6 : Bạn xem thử về điểm rơi trong BĐT  

[Ngoc Hung]

Bài 5: Cho $x, y$ là hai số dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của :

a) $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}$                                   b) $B=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}$

 

a) $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}}=5$

b) $B=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{2}{(x+y)^{2}}=6$

[HoangVienDuy]

câu 2: $P=a^{2}+b^{2}+\frac{1}{ab}= (a+b)^{2}-2ab+\frac{1}{ab}\geq (a+b)^{2}+\frac{4}{(a+b)^{2}}-2ab\doteq (a+b)^{2}+\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{3}{(a+b)^{2}}-\frac{(a+b)^{2}}{2}\geq 2+3-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$

[huynhminhtitan]

Bài 1 : Cho $a, b, c >0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh $b+c \geq 16abc$

 

 

Ta có : b+c = ( b+c )$(a+b+c)^{2}$ $\geq 4a(b+c)^{2}\geq 16abc$

[huynhminhtitan]

 

 

Bài 2: Cho $a, b >0$ và $a+b=1$. Chứng minh $a^2+b^2+\frac{1}{ab}\geq \frac{9}{2}$

 

 

Ta có; $2( a^{2}+ b^{2})\geq (a+b)^{2}\rightarrow a^{2} + b^{2}\geq \frac{1}{2}$

$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\rightarrow \frac{1}{4} \geq ab \rightarrow 4\leq \frac{1}{ab}$

Suy ra : $a^{2} + b^{2}+ \frac{1}{ab} \geq \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$

[arsfanfc]

 

 

 

 

b) H=$xy+\frac{1}{xy}$ với $x+y=1$

 

$H=xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy} \geq \frac{1}{2}+\frac{15}{16xy} \geq \frac{1}{2}+\frac{15}{4(x+y)^2}=\frac{17}{4}$

dấu "=" khi $ x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 02-04-2015 - 12:18

[huynhminhtitan]

 

c)$x^2+y^2+\frac{1}{xy}$ với $x+y=2

 Bằng 3

[vda2000]

d) $x+y+\frac{1}{xy}$

$x+y+\frac{1}{xy}\geq 2\sqrt{xy}+\frac{1}{xy}=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\frac{1}{xy}\geq 3.\sqrt[3]{\sqrt{xy}.\sqrt{xy}.\frac{1}{xy}}=3$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$