Chủ đề này có 4 trả lời

[cool hunter]

Cho a,b,c không âm. Tìm GTNN của 

$P=(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]$

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c không âm. Tìm GTNN của 

$P=(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]$

Ta có:$\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$

$\sum (\frac{a+b}{a-b})^2\geq -2(\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b})=2$

Ta có:$\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+3\geq 5$

Mặt khác:

$(\frac{a}{b-c}+1)(\frac{b}{c-a}+1)(\frac{c}{a-b}+1)=(\frac{a}{b-c}-1)(\frac{b}{c-a}-1)(\frac{c}{a-b}-1)\Rightarrow\sum ( \frac{a}{b-c}.\frac{b}{c-a})=-1\Rightarrow \sum (\frac{a}{b-c})^2\geq -2(\sum \frac{a}{b-c}.\frac{b}{c-a})=2$

Do đó:

$(a^2+b^2+c^2)[\sum \frac{1}{(a-b)^2}]=(\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2})+(\sum \frac{a^2}{(b-c)^2})\geq \frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 03-04-2015 - 05:41

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c không âm. Tìm GTNN của 

$P=(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]$

Một cách khác của anh 

khanghaxuan

dành cho ba số không âm

Nếu $a,b, c\geq 0$ thì ta có cách chứng minh khá đẹp sau đây 

Giả sử : $c=min\begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$

Đặt :  $\left\{\begin{matrix} (a-b)^{2}=x & \\ (a-c)(b-c)=y& \end{matrix}\right. ( x,y\geq 0)$

Ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)+ab+bc+ca\geq (a-b)^{2}+2(a-c)(b-c)=x+2y$

$\sum \frac{1}{(a-b)^{2}}=(\frac{1}{a-b}+\frac{a-b}{(b-c)(a-c)})^{2}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{y}+\frac{x}{y^{2}}$

Ta có :  $VT\geq (x+2y)(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{x}{y^{2}})=t^{2}+\frac{2}{t}+4t+5$ trong đó $t=\frac{x}{y}>0$

Mặt khác :$f^{'}(t)=2t-\frac{2}{t^{2}}+4=0\Leftrightarrow t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Nên $VT\geq f(t)\geq f(\frac{\sqrt{5}-1}{2})=\frac{11+5\sqrt{55}}{2}\geq \frac{9}{2}$

Vậy Ta chứng ming xong !!!!!

[longatk08]

 

Ta có:$\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$

$\sum (\frac{a+b}{a-b})^2\geq -2(\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b})=2$

Ta có:$\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+3\geq 5$

Mặt khác:

$(\frac{a}{b-c}+1)(\frac{b}{c-a}+1)(\frac{c}{a-b}+1)=(\frac{a}{b-c}-1)(\frac{b}{c-a}-1)(\frac{c}{a-b}-1)\Rightarrow\sum ( \frac{a}{b-c}.\frac{b}{c-a})=-1\Rightarrow \sum (\frac{a}{b-c})^2\geq -2(\sum \frac{a}{b-c}.\frac{b}{c-a})=2$

Do đó:

$(a^2+b^2+c^2)[\sum \frac{1}{(a-b)^2}]=(\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2})+(\sum \frac{a^2}{(b-c)^2})\geq \frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$

 

Dấu bằng này xảy ra khi $a=-c,b=0$ vậy sao TM $a,b,c$ không âm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 03-04-2015 - 17:10

[dogsteven]

Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ và đặt $x=a-c, y=b-c$ thì $x\ne y$ và $x,y>0$. $a^2+b^2+c^2\geqslant x^2+y^2$

$\Rightarrow P\geqslant t^2+\dfrac{t}{t-2}\geqslant \dfrac{11+5\sqrt{5}}{2}$ với $t=\dfrac{x^2+y^2}{xy}>2$