Chủ đề này có 5 trả lời

[nghiemthanhbach]

Cho x,y,z>0 thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$. Chứng minh $\frac{(x+y+z)^4}{x^2+y^2+z^2}\geq 27$

[Le Dinh Hai]

Cho x,y,z>0 thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$. Chứng minh $\frac{(x+y+z)^4}{x^2+y^2+z^2}\geq 27$

x+y+z=xy+xy+zx

Nên (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z

=>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2x-2y-2z

Đặt x+y+z=a,ta có:

x^2+y^2+z^2=a^2--2a;(x+y+z)^3=a^3;

Thay vào BDT ban đầu,ta có:

a^3-27a+54 >=0(a<>0;a<>2)

=>(a-3)(a^2+3a-18)>=0

Xét a>=3,ta có

a-3 >=0;a^2+3a-18>=0;(1)

Xét a<3;a<>2.ta có:

a-3<0;a^2+3a-18<0;(2)

Từ (1),(2) => dpcm

Dấu = xảy ra tại a=3<=>x+y+z=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Dinh Hai: 04-04-2015 - 17:22

[Hoang Nhat Tuan]

x+y+z=xy+xy+zx

Nên (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z

=>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2x-2y-2z

Đặt x+y+z=a,ta có:

x^2+y^2+z^2=a^2--2a;(x+y+z)^3=a^3;

Thay vào BDT ban đầu,ta có:

a^3-27a+54 >=0

=>(a-3)(a^2+3a-18)>=0

Xét a>=3,ta có

a-3 >=0;a^2+3a-18>=0;(1)

Xét a<0.ta có:

a-3<0;a^2+3a-18<0;(2)

Từ (1),(2) => dpcm

Dấu = xảy ra tại a=3<=>x+y+z=3

Sai rồi Hải ơi

[Hoang Nhat Tuan]

$(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)$

$\geq 3(xy+yz+xz)=3(x+y+z)$

Do đó: x+y+z$\geq 3$

Đặt $a=x+y+z$ ta có $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}-2a$

Nên theo BĐT ta có:

$\frac{a^{4}}{a^{2}-2a}\geq 27<=>\frac{a^{3}}{a-2}\geq 27$

Lại có: $\frac{a^{3}}{a-2}=27+\frac{a^{3}-27a+54}{a-2}$

$=27+\frac{(a-3)^{2}(a+6)}{a-2}\geq 27$ (vì $a\geq 3$ nên a-2>0 và $(a-3)^{2}(a+6)\geq 0$)

=> Điều phải chứng minh

[Hoang Nhat Tuan]

x+y+z=xy+xy+zx

Nên (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z

=>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2x-2y-2z

Đặt x+y+z=a,ta có:

x^2+y^2+z^2=a^2--2a;(x+y+z)^3=a^3;

Thay vào BDT ban đầu,ta có:

a^3-27a+54 >=0(a<>0;a<>2)

=>(a-3)(a^2+3a-18)>=0

Xét a>=3,ta có

a-3 >=0;a^2+3a-18>=0;(1)

Xét a<3;a<>2.ta có:

a-3<0;a^2+3a-18<0;(2)

Từ (1),(2) => dpcm

Dấu = xảy ra tại a=3<=>x+y+z=3

Cách giải của Hải sai ở chỗ là chưa chỉ ra $x+y+z\geq 3$

[Lehalinhthcshb]

x+y+z=xy+xy+zx
Nên (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z
=>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2x-2y-2z
Đặt x+y+z=a,ta có:
x^2+y^2+z^2=a^2--2a;(x+y+z)^3=a^3;
Thay vào BDT ban đầu,ta có:
a^3-27a+54 >=0(a<>0;a<>2)
=>(a-3)(a^2+3a-18)>=0
Xét a>=3,ta có
a-3 >=0;a^2+3a-18>=0;(1)
Xét a<3;a<>2.ta có:
a-3<0;a^2+3a-18<0;(2)
Từ (1),(2) => dpcm
Dấu = xảy ra tại a=3<=>x+y+z=3

Anh có thể dùng Latex không? Em đọc không hiểu ạ!