Chủ đề này có 10 trả lời

[Huyenpham]

Với $a\geq b\geq c>0$ thì $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$

[Dinh Xuan Hung]

Với $a\geq b\geq c>0$ thì $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

[Huyenpham]

 

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

 

khó hiểu

[Dinh Xuan Hung]

khó hiểu

Cách khác:$P=\sum \frac{a}{a+b}$

Ta có:$P-\frac{3}{2}=\sum \left ( \frac{a}{a+b}-\frac{1}{2} \right )=\sum \frac{a-b}{2(a+b)}=\frac{a-b}{2}\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a} \right )+\frac{b-c}{2}\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \right )=\frac{(a-b)(c-b)}{2(a+b)(c+a)}+\frac{(b-c)(a-b)}{2(b+c)(c+a)}=\frac{(a-b)(b-c)}{2(c+a)}\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)} \right )$

(Luôn đúng vì $a\geq b\geq c> 0$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-04-2015 - 22:36

[Huyenpham]

Với $a\geq b\geq c>0$ thì $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$

 

 

Cách khác:$P=\sum \frac{a}{a+b}$

Ta có:$P-\frac{3}{2}=\sum \left ( \frac{a}{a+b}-\frac{1}{2} \right )=\sum \frac{a-b}{2(a+b)}=\frac{a-b}{2}\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a} \right )+\frac{b-c}{2}\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \right )=\frac{(a-b)(c-b)}{2(a+b)(c+a)}+\frac{(b-c)(a-b)}{2(b+c)(c+a)}=\frac{(a-b)(b-c)}{2(c+a)}\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)} \right )$ (Luôn đúng vì $a\geq b\geq c> 0

 

không có cách nào dễ hiểu hơn hả p

[hangyeutara]

Với $a\geq b\geq c>0$ thì $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$

Theo BĐT SVac, ta có:

$M= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ba+bc}+\frac{c^2}{ca+cb}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ac+bc)}$

Mà $(a+b+c)^2\geq 3(ab+ac+bc)$

Suy ra $M\geq \frac{3(ab+ac+bc)}{2(ab+ac+bc)}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangyeutara: 05-04-2015 - 15:21

[Dinh Xuan Hung]

Theo BĐT SVac, ta có:

$M= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ba+bc}+\frac{c^2}{ca+cb}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ac+bc)}$

Mà $(a+b+c)^2\geq 3(ab+ac+bc)$

Suy ra $M\geq \frac{3(ab+ac+bc)}{2(ab+ac+bc)}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Nhầm đề bài rồi bạn ơi

[lethutang7dltt]

ai có cách dễ hiểu hơn ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 05-04-2015 - 21:40

[My Linh Vietnamese]

Đây là bất đẳng thức gần giống với BĐT Nesbit có 45 cách chứng minh, bạn tham khảo tại http://diendantoanho...attach_id=12986

Mình vừa nhìn nhầm đề, dù sao cũng không xóa đk, thôi tham khảo, cách Cm này TT vs nebit

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi My Linh Vietnamese: 05-04-2015 - 21:41

[congdaoduy9a]

Đây là bất đẳng thức Nesbit có 45 cách chứng minh, bạn tham khảo tại http://diendantoanho...attach_id=12986

Nhầm to như mình lần đầu đọc đề rồi 

[Huyenpham]

 

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

 

chỗ này hơi khó hiểu