Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho các số thực dương $a, b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.

Tìm GTNN của biểu thức:

$ A=\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}$

[nangcuong8e]

Cho các số thực dương $a, b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.

Tìm GTNN của biểu thức:

$ A=\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}$

BÀI NÀY THẤY QUEN QUEN
Ta có: $\frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}} =\frac{a^2}{\sqrt{(a+2)(a^2-2a+4)}} \geq \frac{2a^2}{a^2 -a+6}$
$\Rightarrow  \sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}} \geq \sum \frac{2a^2}{a^2 -a+6} \geq \frac{2(a+b+c)^2}{a^2 +b^2 +c^2 -a-b-c+18}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}} \geq \frac{2(a+b+c)^2}{a^2 +b^2+c^2-ab-bc-ca +3(ab+bc+ca) +3(ab+bc+ca)}$
$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}} \geq \frac{2(a+b+c)^2}{[a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca)] +(a+b+c)^2} =1$
 Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
 

[hoctrocuaHolmes]

BÀI NÀY THẤY QUEN QUEN
Ta có: $\frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}} =\frac{a^2}{\sqrt{(a+2)(a^2-2a+4)}} \geq \frac{2a^2}{a^2 -a+6}$
$\Rightarrow  \sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}} \geq \sum \frac{2a^2}{a^2 -a+6} \geq \frac{2(a+b+c)^2}{a^2 +b^2 +c^2 -a-b-c+18}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}} \geq \frac{2(a+b+c)^2}{a^2 +b^2+c^2-ab-bc-ca +3(ab+bc+ca) +3(ab+bc+ca)}$
$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}} \geq \frac{2(a+b+c)^2}{[a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca)] +(a+b+c)^2} =1$
 Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
 

hỏi ngu tí nhưng đoạn màu đỏ là áp dụng bất đẳng thức gì vậy ạ?

[My Linh Vietnamese]

hỏi ngu tí nhưng đoạn màu đỏ là áp dụng bất đẳng thức gì vậy ạ?

Cái này là áp dụng bất đẳng thức cosi

$(a+2)(a^2-2a+4)\le \frac{a^2-2a+4+a+2}{2}$