Binh nhất
Cho a, b, c > 0 thoả mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Chứng minh $(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$
Chú ý: Cách gõ công thức Toán.
Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 05-04-2015 - 22:05
${\color{Blue} neu} {\color{Yellow} biết} {\color{Cyan} rằng} {\color{Magenta} rồi} {\color{Teal} mây} {\color{Purple} sẽ} {\color{DarkBlue} đến}$
Trung sĩ
bạn ơi dùng trình soạn thảo latex đi khó đọc wá
#oimeoi 
#
Thượng úy
Cho a,b,c>0 thoả a+b+c=1/a+1/b+1/c
Chứng minh (ab+bc+ca)(căn(ab)+căn(bc)+căn(ca))^2>=27
ý bạn là thế này phải không: Cho a,b,c >0 thoả mãn a+b+c=$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.Chứng minh (ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})^{2}\geq 27$
Binh nhất
đúng rồi bạn 
${\color{Blue} neu} {\color{Yellow} biết} {\color{Cyan} rằng} {\color{Magenta} rồi} {\color{Teal} mây} {\color{Purple} sẽ} {\color{DarkBlue} đến}$
Thượng úy
Cho a, b, c > 0 thoả mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Chứng minh $(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$
Chú ý: Cách gõ công thức Toán.
Đặt $a=\sqrt{\frac{xy}{z}};b=\sqrt{\frac{yz}{x}};c=\sqrt{\frac{zx}{y}}$
Từ GT $\Rightarrow x+y+z=xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Leftrightarrow x+y+z\geq 3$
BĐT C/m $\Leftrightarrow (xy+yz+zx)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq 27$
Ta có $27\leq (a+b+c)^3$ nên ta chỉ cần C/m
$(xy+yz+zx)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq (x+y+z)^3$
Vì đây là BĐT đồng bậc nên có thể chuẩn hóa $x+y+z=3$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\geq (x+y+z)^2=3(x+y+z)$
BĐT này luôn đúng vì theo BĐT $AM-GM$ ta có
$x^2+2\sqrt{x}=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq 3x$
Vậy BĐT được C/m
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Binh nhất
Bạn ơi sao suy ra dòng này vậy BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$Đặt $a=\sqrt{\frac{xy}{z}};b=\sqrt{\frac{yz}{x}};c=\sqrt{\frac{zx}{y}}$
Từ GT $\Rightarrow x+y+z=xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Leftrightarrow x+y+z\geq 3$
BĐT C/m $\Leftrightarrow (xy+yz+zx)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq 27$
Ta có $27\leq (a+b+c)^3$ nên ta chỉ cần C/m
$(xy+yz+zx)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq (x+y+z)^3$
Vì đây là BĐT đồng bậc nên có thể chuẩn hóa $x+y+z=3$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\geq (x+y+z)^2=3(x+y+z)$
BĐT này luôn đúng vì theo BĐT $AM-GM$ ta có
$x^2+2\sqrt{x}=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq 3x$
Vậy BĐT được C/m
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
${\color{Blue} neu} {\color{Yellow} biết} {\color{Cyan} rằng} {\color{Magenta} rồi} {\color{Teal} mây} {\color{Purple} sẽ} {\color{DarkBlue} đến}$
Thượng úy
Bạn ơi sao suy ra dòng này vậy BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\geq (x+y+z)^2=3(x+y+z)$
Bạn nhân $2$ và hai vế rồi cộng thêm với $a^2+b^2+c^2$ là ra chỗ đó bạn! 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 09-04-2015 - 22:00
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Binh nhất
${\color{Blue} neu} {\color{Yellow} biết} {\color{Cyan} rằng} {\color{Magenta} rồi} {\color{Teal} mây} {\color{Purple} sẽ} {\color{DarkBlue} đến}$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
