Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $AB=c$; $BC=a$, $CA=b$. $M$ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ xuống $BC, CA, AB$.

Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{x}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$

[Rias Gremory]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $AB=c$; $BC=a$, $CA=b$. $M$ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ xuống $BC, CA, AB$.

Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{x}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: $\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  = \frac{1}{{\sqrt a }}\sqrt {ax}  + \frac{1}{{\sqrt b }}\sqrt {by}  + \frac{1}{{\sqrt c }}\sqrt {cz}  \le $

$ \le \sqrt {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {ax + by + cz} \right)}  = \sqrt {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)2S}  = \sqrt {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\frac{{abc}}{{2R}}} $

$ = \sqrt {\frac{{ab + bc + ca}}{{2R}}}  \le \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y = z\\ a = b = c \end{array} \right.$ $\blacksquare$

[the man]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $AB=c$; $BC=a$, $CA=b$. $M$ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ xuống $BC, CA, AB$.

Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{x}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$

Bạn có thể xem cách giải nữa ở đây http://diendantoanho...rtfraca2b2c22r/