Chủ đề này có 8 trả lời

[kudoshinichihv99]

Cho số nguyên tố p có dạng $p=4k+1$ , k$\epsilon$N^*. Hỏi tồn tại hay không số tự nhiên n thỏa mãn $n^{2}+2^{n}$ chia hết cho 2p ?

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 06-04-2015 - 20:26

[nguyenhiep1999]

có

[hoctrocuaHolmes]

Cho số nguyên tố p có dạng $p=4k+1$ , k$\epsilon$N^*. Hỏi tồn tại hay không số tự nhiên n thỏa mãn $n^{2}+2^{n}$ chia hết cho 2p ?

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

mình cũng không chắc lắm

$p=4k+1\Rightarrow 2p=8k+2\equiv 2(mod 8)$

Lại có $n^{2}$ là số chính phương nên $n^{2}\equiv 1(mod 8)$                      (1)

Mà $2^{n}\equiv 1(mod 8)( n=0) ;2^{n}\equiv 2(mod 8) (n=1); 2^{n}\equiv 4(mod 8) (n=2); 2^{n}\equiv 0(mod 8)(n>2,n\epsilon N)$           (2)

Cộng (1) với (2) chỉ thấy n=0 là thoả mãn nhưng thay vào đẳng thức thì không đúng.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn

[Sherlock Nguyen]

mình cũng không chắc lắm

$p=4k+1\Rightarrow 2p=8k+2\equiv 2(mod 8)$

Lại có $n^{2}$ là số chính phương nên $n^{2}\equiv 1(mod 8)$                      (1)

Mà $2^{n}\equiv 1(mod 8)( n=0) ;2^{n}\equiv 2(mod 8) (n=1); 2^{n}\equiv 4(mod 8) (n=2); 2^{n}\equiv 0(mod 8)(n>2,n\epsilon N)$           (2)

Cộng (1) với (2) chỉ thấy n=0 là thoả mãn nhưng thay vào đẳng thức thì không đúng.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn

$n^{2}\equiv 0; 1; 4(mod 8)$ chứ bạn

Với lại $2p\equiv 2(mod8)$ thì chắc gì $n^{2}+2^{n}\equiv 2 (mod 8)$

[nguyenhiep1999]

mình cũng không chắc lắm

$p=4k+1\Rightarrow 2p=8k+2\equiv 2(mod 8)$

Lại có $n^{2}$ là số chính phương nên $n^{2}\equiv 1(mod 8)$                      (1)

Mà $2^{n}\equiv 1(mod 8)( n=0) ;2^{n}\equiv 2(mod 8) (n=1); 2^{n}\equiv 4(mod 8) (n=2); 2^{n}\equiv 0(mod 8)(n>2,n\epsilon N)$           (2)

Cộng (1) với (2) chỉ thấy n=0 là thoả mãn nhưng thay vào đẳng thức thì không đúng.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả m

cậu lập luận chẳng logic tí gì

sao tự nhiên lại cho n²   đồng dư 1 mod 8,trong bài này thì n phải chãn chứ.

[hoctrocuaHolmes]

cậu lập luận chẳng logic tí gì

sao tự nhiên lại cho n²   đồng dư 1 mod 8,trong bài này thì n phải chãn chứ.

 

có

bạn nêu cách giải của mình ra đi,mình kiến thức hạn hẹp nên còn suy nghĩ đây.Bạn không cần dùng $modun$ à?

[nguyenhiep1999]

bạn nêu cách giải của mình ra đi,mình kiến thức hạn hẹp nên còn suy nghĩ đây.Bạn không cần dùng $modun$ à?

từ đề bài dễ dàng suy ra n chẵn.

đặt n=2^q.k=>(2^q.k)²+(2^k)^{2^q} chia hết cho p.

p=2.thỏa mãn.

p>2=>p lẻ.

=>k²+2^{k.2^q-2.q} chia hết cho p.

bài toán quy về chứng minh :mọi ước nguyên tó lẻ của a²+b² đều có dạng 4k+1trong đó (a;b)=1.

dễ thấy (a,p)=(b,p)=1

theo định lý fec-ma : a^p-1-1 chia hết cho p,b^p-1-1 chia hết cho p

=>a^p-1-b^p-1 chia hết cho p(1)

mà a²  đồng dư với b² mod p =>a^p+1-b^p+1 chia hết cho p.

Nếu p=4k+3 thi p+1=4k+4 chia hết cho 4 =>a^p+1  đồng dư với b^p+1 mod p mà (1) =>b^p+1  .2 chia hết cho p=>b chia hết cho p vô lí.

=>mọi ước nguyên tố của a²+b² đều có dạng 4k+1.

đây hẳn là một bà khai thai ngược từ bài toán trên nhưng kết luận rằng không phải với bất kì số nguyên tố p nào cũng tồn tại n nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

[hoctrocuaHolmes]

từ đề bài dễ dàng suy ra n chẵn.

đặt n=2^q.k=>(2^q.k)²+(2^k)^{2^q} chia hết cho p.

p=2.thỏa mãn.

p>2=>p lẻ.

=>k²+2^{k.2^q-2.q} chia hết cho p.

bài toán quy về chứng minh :mọi ước nguyên tó lẻ của a²+b² đều có dạng 4k+1trong đó (a;b)=1.

dễ thấy (a,p)=(b,p)=1

theo định lý fec-ma : a^p-1-1 chia hết cho p,b^p-1-1 chia hết cho p

=>a^p-1-b^p-1 chia hết cho p(1)

mà a²  đồng dư với b² mod p =>a^p+1-b^p+1 chia hết cho p.

Nếu p=4k+3 thi p+1=4k+4 chia hết cho 4 =>a^p+1  đồng dư với b^p+1 mod p mà (1) =>b^p+1  .2 chia hết cho p=>b chia hết cho p vô lí.

=>mọi ước nguyên tố của a²+b² đều có dạng 4k+1.

đây hẳn là một bà khai thai ngược từ bài toán trên nhưng kết luận rằng không phải với bất kì số nguyên tố p nào cũng tồn tại n nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

bạn ơi,theo đề bài $p=4k+1$ cơ mà sao có dạng $p=2$được.Với lại,bạn gõ Latex cho dễ nhìn.

[nguyenhiep1999]

bạn ơi,theo đề bài $p=4k+1$ cơ mà sao có dạng $p=2$được.Với lại,bạn gõ Latex cho dễ nhìn.

nhầm.mình không biết gõ kiểu kia hay lỗi phông lắm.