Chủ đề này có 28 trả lời

[Algebra]

KỲ THI OLYMPIC 30/4 LẦN THỨ XXI 

 

Bài 1(4 điểm)

Giải hệ phương trình : 

$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}+\frac{3}{x+y}=4\\ 2(4-3y)\sqrt{2x^{2}-1}=10y^{2}-20y+3x+4 \end{matrix}\right.$$

 

Bài 2(4 điểm)

Cho $\Delta ABC$. 1 đường thẳng song song $BC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $D,E$. $P$ là điểm trong tam giác $ADE$. $PB,PC$ theo thứ tự cắt $DE$ tại $M,N$.   $O_{1},O_{2}$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDN, PEM$. Gọi $I$ là giao điểm của $AP$ với $O_{1}O_{2}$. Tính $\widehat{AIO_{1}}$

 

Bài 3(3 điểm)

Cho a,b,c là các số thực dương sao cho $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

 Tìm max: $T=\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}$

 

Bài 4(3 điểm)

Cho 10 điểm thuộc mp tọa độ Oxy. Biết mỗi điểm đều có tọa độ nguyên. Tìm số tam giác ít nhất tạo bởi 3 trong 10 điểm trên có diện tích nguyên.

 

Bài 5(3 điểm)

Có 8 phong thư và 8 tem thư được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách dán tem vào thư sao cho có ít nhất 1 tem được đánh số trùng với số của phong thư.

 

Bài 6(3 điểm)

Tìm hàm $f:N*\rightarrow N*$ thỏa mãn: 

$f(m+f(n))=n+f(m+2015)$

 

Ps: năm nay 4 câu mới có vàng nhé !! 

@Juliel fixed

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Algebra: 07-04-2015 - 11:54

[Juliel]

Chủ thớt viết lại bài hình giùm đi. Câu này có vẻ giống với Iran năm 1996.

[Bui Ba Anh]

Anh Huy ơi hình như đây là câu Ấn Độ 95 chứ

[Bui Ba Anh]

câu bất tương đối đơn giản

Nhưng mà nếu tinh ý thì có cách giải hay bằng việc phối hợp đủ: đặt ẩn, SOS và phản chứng

Ta sẽ chứng minh nếu: $\sum \frac{1}{a^2+2}=1$ thì $\sum a \leq \sum \frac{1}{a}$

Thật vậy từ điều kiện ta có $\sum \frac{a^2}{a^2+2}=1$

Nếu đặt: $\frac{a^2}{a^2+2}=m;....$ ta có ngay $a=\sqrt{\frac{2m}{n+p}}$ và các hoán vị tương tự

Như vậy ta sẽ chứng minh rằng :$\sum \sqrt{\frac{n+p}{m}} \geq 2\sqrt{\frac{m}{n+p}}$

hay $\sum \frac{n+p-2m}{\sqrt{m(n+p)}} \geq 0$ $<-> \sum \frac{n-m}{\sqrt{m(n+p)}}+\sum \frac{n-p}{\sqrt{m(n+p)}}$

$<-> sum_{sym} (n-m).(\frac{1}{\sqrt{m(n+p)}}-\frac{1}{\sqrt{n(m+p)}})\geq 0$ 

Và cuối cùng $\sum_{sym} (m-n)^2p.(\frac{1}{\sqrt{mn(m+p)(n+p)}.(\sqrt{m(n+p)}+\sqrt{n(m+p)})} \geq 0$ đúng

Bây giờ ta giả sử $\sum \frac{1}{a^2+2}=k^2 >1$ $<-> \sum \frac{1}{(ak)^2+2(k^2-1)+2} =1$

Từ trên ta có $\sum \sqrt{(ak)^2+2(k^2-1)} \leq \sum \frac{1}{\sqrt{(ak)^2+2(k^2-1)}}$

Hay $\sum ak<\sum \sqrt{(ak)^2+2(k^2-1)} \leq \sum \frac{1}{\sqrt{(ak)^2+2(k^2-1)}} < \sum \frac{1}{ak}$ trái với giả thiết

Vậy giá trị nhỏ nhất là $1$ khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 06-04-2015 - 23:20

[Juliel]

Câu bất làm đơn giản thế này thôi em.

Cần chứng minh :

$$\dfrac{a^2}{a^2+2}+\dfrac{b^2}{b^2+2}+\dfrac{c^2}{c^2+2}\geq 1$$

Theo Cauchy-Schwarz :

$$\dfrac{a^2}{a^2+2}+\dfrac{b^2}{b^2+2}+\dfrac{c^2}{c^2+2}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}$$

Cần chỉ ra :

$$(a+b+c)^2\geq a^2+b^2+c^2+6\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 3$$

Đúng vì theo giả thiết :

$$abc(a+b+c) \geq ab+bc+ca$$

Và theo một BĐT quen thuộc :

$$(ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)$$

 

Có thể Iran vs Ấn Độ giống nhau đó em . Chúc mừng Nguyễn Du nha, năm nay thắng lớn quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 06-04-2015 - 23:17

[Bui Ba Anh]

Dạ vâng chúng e cảm ơn anh!!!!

[lamquoctoan]

Câu tổ hop giống như đề chọn đội tuyển dự thi 30-4 trường mình hồi trước tết, có điều trường mình cho 5 điểm, đề cho 10 điểm.

Còn câu phương trình hàm rất quen thuộc

[lamquoctoan]

Câu hệ phuong trình có thêm phương trình đầu, ý tưởng giải phương  trình (1) thay vào (2), ra phương trình gống phương trình đã thi trong đề thi trại hè Hùng Vương năm 2012

[O0NgocDuy0O]

Câu bất làm đơn giản thế này thôi em.

Cần chứng minh :

$$\dfrac{a^2}{a^2+2}+\dfrac{b^2}{b^2+2}+\dfrac{c^2}{c^2+2}\geq 1$$

Theo Cauchy-Schwarz :

$$\dfrac{a^2}{a^2+2}+\dfrac{b^2}{b^2+2}+\dfrac{c^2}{c^2+2}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}$$

Cần chỉ ra :

$$(a+b+c)^2\geq a^2+b^2+c^2+6\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 3$$

Đúng vì theo giả thiết :

$$abc(a+b+c) \geq ab+bc+ca$$

Và theo một BĐT quen thuộc :

$$(ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)$$

 

Có thể Iran vs Ấn Độ giống nhau đó em . Chúc mừng Nguyễn Du nha, năm nay thắng lớn quá

Cho em hỏi là đề bảo tìm max mà sao chị tìm min. Với lại: 

$T=\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}$ mà chị @@

[vinhle2510]

cho T$\leq$1 nhân 2 2 vế rồi trừ 3 hai vế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhle2510: 07-04-2015 - 19:53

[mnguyen99]

Chủ thớt viết lại bài hình giùm đi. Câu này có vẻ giống với Iran năm 1996.

Cho em link lời giải với

[Juliel]

Cho em hỏi là đề bảo tìm max mà sao chị tìm min. Với lại: 

$T=\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}$ mà chị @@

Thế này nhé em :

Ta sẽ chứng minh :

$$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1\Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{a^2+2}\right )+\left ( \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{a^2+2}\right )+\left ( \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{a^2+2}\right )\geq \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{a^2+2}+\dfrac{a^2}{a^2+2}+\dfrac{a^2}{a^2+2}\geq 1$$

 

Mà xưng anh nhé em, chuẩn men Thằng cha Kiên chơi đó mà

 

Cho em link lời giải với

Anh không có link, bài này cũng không khó lắm đâu em.

Gọi $L,K$ là giao điểm thứ hai của $AB$ và $(MDQ)$, $AC$ và $(MPE)$.

Ta có :

$$\angle MKA=\angle MPE=\angle MBC$$

Nên $MKBC$ nội tiếp. Tương tự thì $MLBC$ nội tiếp. Suy ra $LKBC$ nội tiếp.

Từ đó mà :

$$\angle LKC=180^0-\angle B=180^0-\angle ADE=\angle LDE$$

Suy ra tứ giác $LDKE$ nội tiếp. Kéo theo $AD.AL=AK.AE$ hay $P_{A/(MDQ)}=P_{A/(MPE)}$.

Như vậy $A$ nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn $(MDQ),(MPE)$. Từ đó dễ thấy $\angle ANO_1=90^0$.

 

Đề câu hình đầy đủ là :

 

Câu hàm là đề thi IMO 1995.

[ngoalongtiensinh]

Đề thi năm nay ý tưởng rất quen :3 tiếc là e chỉ kịp làm dc 4 câu :3

[taolawho]

 

KỲ THI OLYMPIC 30/4 LẦN THỨ XXI 

 

Bài 1(4 điểm)

Giải hệ phương trình : 

$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}+\frac{3}{x+y}=4\\ 2(4-3y)\sqrt{2x^{2}-1}=10y^{2}-20y+3x+4 \end{matrix}\right.$$

 

Bài 2(4 điểm)

Cho $\Delta ABC$. 1 đường thẳng song song $BC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $D,E$. $P$ là điểm trong tam giác $ADE$. $PB,PC$ theo thứ tự cắt $DE$ tại $M,N$.   $O_{1},O_{2}$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDN, PEM$. Gọi $I$ là giao điểm của $AP$ với $O_{1}O_{2}$. Tính $\widehat{AIO_{1}}$

 

Bài 3(3 điểm)

Cho a,b,c là các số thực dương sao cho $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

 Tìm max: $T=\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}$

 

Bài 4(3 điểm)

Cho 10 điểm thuộc mp tọa độ Oxy. Biết mỗi điểm đều có tọa độ nguyên. Tìm số tam giác ít nhất tạo bởi 3 trong 10 điểm trên có diện tích nguyên.

 

Bài 5(3 điểm)

Có 8 phong thư và 8 tem thư được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách dán tem vào thư sao cho có ít nhất 1 tem được đánh số trùng với số của phong thư.

 

Bài 6(3 điểm)

Tìm hàm $f:N*\rightarrow N*$ thỏa mãn: 

$f(m+f(n))=n+f(m+2015)$

 

Ps: năm nay 4 câu mới có vàng nhé !! 

@Juliel fixed

 

bài 1 

coooossi 4 số vế đầu suy ra x+y=1 hoặc x+y=-1

[thanh167]

Ai làm bài hàm số đi

[gianglqd]

mọi người giải giúp em hai bài tổ hợp đi

[Geomertry]

Mình làm được có gần 5 câu à! Tiếc thật! Mém nữa nhất môn.

[Geomertry]

Bài hàm tác động hàm hai vế rồi quy về cấp số cộng

[gianglqd]

Bài 4:

Theo công thức tính diện tích tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ thì chỉ cần 2 trong 3 điểm A, B, C cùng tính chẵn lẽ cả hoành độ và tung độ thì diện tích tam giác ABC nguyên. ta chia 10 điển đã cho vào 4 nhóm có tọa độ là (chẵn, chẵn), (chẵn, lẻ), (lẻ, chẵn), (lẻ, lẻ) thì theo Dirichlet có ít nhất 3 điểm cùng tính chẵn lẻ về tọa độ. Khi 2 trong 3 điểm này ghép với 1 trong 7 điểm còn lại sẽ tạo tam giác có diện tích nguyên theo lập luận ở trên. Mà 3 điểm này tạo với nhau tam giác có diện tích nguyên nữa. Vậy có ít nhất 3x7+1=22 tam giác có diện tích nguyên thỏa đề

[nhungvienkimcuong]

 

KỲ THI OLYMPIC 30/4 LẦN THỨ XXI 

Bài 5(3 điểm)

Có 8 phong thư và 8 tem thư được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách dán tem vào thư sao cho có ít nhất 1 tem được đánh số trùng với số của phong thư.

 

ta giải bài toán với $n$ phong thư và $n$ tem thư như trên

số cách gián tem tùy ý là $n!$

gọi $A$ là tập hợp các cách dán thỏa đề khi đó $\overline{A}$ là tập hợp các cách gián không thỏa đề

gọi số phần tử của $\overline{A}$ là $u_n$

dán con tem thứ nhất lên một bì thư thứ $j(j\neq 1)$ có $n-1$ cách

với con tem thứ $j$

$-TH1$ nếu tem thứ $j$ dán vào bì $1$ thì khi đó có $n-1$ con tem $(\neq 1\wedge j)$ phải dán vào $n-1$ bì thư $(\neq 1\wedge j)$ và không có bì thư nào dán con tem trùng với số của bì thư đó nên số cách dán sẽ là $u_{n-2}$

$-TH2$ nếu tem thứ $j$ không dán vào bì $1$ thì khi đó $n-1$ con tem còn lại phải dán vào $n-1$ bì thư còn lại và không có bì thư nào dán con tem trùng với số của bì thư đó nên số cách dán sẽ là $u_{n-1}$

vậy ta có $u_n=(n-1)(u_{n-1}+u_{n-2})\ \forall n\geq 3$

do đó ta có được $\left | A \right |=n!-u_n$

trở lại bài toán với $n=8$ thì ta có $\left\{\begin{matrix} u_1=0\\u_2=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow u_3=2(u_2+u_1)=2\Rightarrow ...\Rightarrow u_8=14833$

vậy số phần tử của $A$ là $8!-18433=25487$

vậy có $\boxed{25487}$ cách dán tem thư thỏa đề

Spoiler

đáp án của bộ ,còn cách nữa mà lười trình bày 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 30-04-2015 - 17:10