Chủ đề này có 1 trả lời

[Katyusha]

Cho tam giác $ABC (AB < AC)$ có ba góc nhọn và ba đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.
 Đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $K$. Qua điểm $F$ kẻ đường thẳng $(d)$ song song với $AC$. $(d)$ cắt $AK$ và $AD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $MF = NF$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 08-04-2015 - 06:22

[Chung Anh]

Cho tam giác $ABC (AB < AC)$ có ba góc nhọn và ba đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.
 Đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $K$. Qua điểm $F$ kẻ đường thẳng $(d)$ song song với $AC$. $(d)$ cắt $AK$ và $AD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $MF = NF$.

Qua $B$ vẽ đường thẳng $ //AC$ cắt $AK,AD$ tại $P;Q$

Ta đi chứng minh $B$ là trung điểm $PQ$

Có $\frac{BQ}{AC}=\frac{DB}{DC} $

Mà $\frac{BP}{AC}=\frac{KB}{KC} $

=>Cần chứng minh $\frac{BD}{DC}=\frac{KB}{KC} $

Có $\frac{KB}{KC}=\frac{S_{KBF}}{S_{KFC}}=\frac{S_{KEB}}{S_{KEC}}=\frac{S_{KEB}-S_{KFB}}{S_{KEC}-S_{KFC}}=\frac{S_{BFE}}{S_{FEC}} (*) $

Do $AFHE$ nội tiếp nên $\widehat{FAH}=\widehat{FEH}\Rightarrow \Delta ABH\sim \Delta EBF(g.g) $

=>$\frac{S_{ABH}}{S_{BFE}}=\frac{AH^2}{FE^2} $

Tương tự có $\frac{S_{ACH}}{S_{CFE}}=\frac{AH^2}{FE^2} $

=>$\frac{S_{ACH}}{S_{CFE}}=\frac{S_{ABH}}{S_{BFE}}\Rightarrow \frac{S_{BEF}}{S_{CEF}}=\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}}=\frac{BD}{DC} $ (chung đáy $AH (**)$)

Từ $(*),(**)$ =>$\frac{KB}{KC}=\frac{DB}{DC} $

=>$\frac{BP}{AC}=\frac{BQ}{AC}\Rightarrow BP=BQ $

=>$FM=FN$ (do $MN//PQ$ )