SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN
Đề thi này gồm 01 trang Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 08/04/2015
Bài 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) $x^2\left ( x+6 \right )=\left ( 5x-1 \right )\sqrt{x^3+3}+2x-3$
b) $\left ( tanx+1 \right )sin^2x+cos2x+2=3\left ( cosx+sinx \right )sinx$
Bài 2: (4 điểm) Cho dãy số $\left ( u_n \right )$ được xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix} u_1=u_2=1\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}},\left ( n\geq 2,n\in \mathbb{N} \right ) \end{matrix}\right.$$
Chứng minh $\left ( u_n \right )$ có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó.
Bài 3: (4 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành và $C_1$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(P)$ tùy ý chứa $AC_1$ cắt các cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $B_1,D_1$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{SB}{SB_1}+\frac{SD}{SD_1}=3$
b) Xác định vị trí của $(P)$ để tam giác $SB_1D_1$ có diện tích bé nhất.
Bài 4: (3 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số sao cho trong mỗi số đó, có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.
Bài 5: (3 điểm)
Cho một tam giác có độ dài ba cạnh là một số nguyên tạo thành cấp số cộng công sai $d>0$. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng $3$.
Bài 6: (2 điểm)
Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa $2014<\frac{a}{b}<2015$. Xét $2015$ số thực dương $x_1,x_2,...,x_{2015}$ thay đổi thỏa điều kiện $0 < x_i \leq b,\forall i=1,2,...,2015$ và $\sum_{i=1}^{2015}x_i=a$. Tìm $GTLN,GTNN$ của $P=\prod_{i=1}^{2015}x_i$ theo $a$ và $b$.
Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
P/s: Bản Word với PDF up lên sau. Mình làm không được câu cuối, câu $2$ sai rất đáng tiếc (đứt từng đoạn ruột). Đề dễ mà sai câu đó chắc xác định!