Chủ đề này có 3 trả lời

[the man]

Cho 2 đường tròn $(O_1), (O_2)$ cắt nhau ở A,B . Tiếp tuyến của $(O_1)$ tại A cắt $(O_2)$ tại C, tiếp tuyến của $(O_2)$ tại A cắt $(O_1)$ tại D.Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và CD. Gọi N là trung điểm của CD.

Chứng minh$\widehat{CAM}=\widehat{DAN}$ 

[halloffame]

 

Lưu ý : $AB$ và $CD$ không có giao điểm thứ hai.

$*$ Bổ đề: Cho tam giác $ABC, AM$ trung tuyến $, N \in BC$. Khi đó $\widehat{BAM} = \widehat{CAN} \Leftrightarrow  \frac{BN}{NC} = (\frac{AB}{AC})^{2}. AN$  được gọi là đường đối trung của $\Delta ABC.$

Quay lại bài toán.

Chú ý $\widehat{BDA}=\widehat{BAC};\widehat{BAD}=\widehat{BCA} \Rightarrow \Delta BDA \sim \Delta BAC\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{BD}{BA}.\frac{BA}{AC}=(\frac{DA}{AC})^{2}.$

Mặt khác $\widehat{DBM}=\widehat{BDA}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=\widehat{MBC} \Rightarrow \frac{DM}{MC}=\frac{DB}{BC}=(\frac{DA}{AC})^{2}.$

Áp dụng bổ đề có ngay đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 08-04-2015 - 21:15

[misakichan]

$*$ Bổ đề: Cho tam giác $ABC, AM$ trung tuyến $, N \in BC$. Khi đó $\widehat{BAM} = \widehat{CAN} \Leftrightarrow  \frac{BN}{NC} = (\frac{AB}{AC})^{2}. AN$  được gọi là đường đối trung của $\Delta ABC.$

Quay lại bài toán.

Chú ý $\widehat{BDA}=\widehat{BAC};\widehat{BAD}=\widehat{BCA} \Rightarrow \Delta BDA \sim \Delta BAC\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{BD}{BA}.\frac{BA}{AC}=(\frac{DA}{AC})^{2}.$

Mặt khác $\widehat{DBM}=\widehat{BDA}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=\widehat{MBC} \Rightarrow \frac{DM}{MC}=\frac{DB}{BC}=(\frac{DA}{AC})^{2}.$

Áp dụng bổ đề có ngay đpcm

chứng minh bổ đề thế nào vậy bạn?

[Bonjour]

chứng minh bổ đề thế nào vậy bạn?

$(AMN)$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $B',C'$ khi đó cung nhỏ $B'N$ và cung nhỏ $MC'$ bằng nhau
Ta có : $BN.BM=BB'.BA$ và $CM.CN=CC'.CA$

 $\Rightarrow \frac{BN.BM}{CM.CN}=\frac{BB'.BA}{CC'CA}=\frac{BA}{CA}.\frac{BA}{CA}$
mà $BM=MC$ nên có đpcm
      

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 27-11-2016 - 17:48