Cho a,b,c là 3 số thực đôi một khác nhau CMR :$\frac{a^{3}-b^{3}}{(a-b)^{3}}+\frac{b^{3}-c^{3}}{(b-c)^{3}}+\frac{c^{3}-a^{3}}{(c-a)^{3}}\geq \frac{9}{4}$
$\sum \frac{a^{3}-b^{3}}{(a-b)^{3}}\geq \frac{9}{4}$
Bắt đầu bởi issacband365, 08-04-2015 - 22:10
#2
Đã gửi 09-04-2015 - 06:15
hoanglong2k
-
- Điều hành viên THCS
-
- 965 Bài viết
Trung úy
Cho a,b,c là 3 số thực đôi một khác nhau CMR :$\frac{a^{3}-b^{3}}{(a-b)^{3}}+\frac{b^{3}-c^{3}}{(b-c)^{3}}+\frac{c^{3}-a^{3}}{(c-a)^{3}}\geq \frac{9}{4}$
Bài toán sai với $a=-9;b=9;c=2$ nhé bạn
#3
Đã gửi 09-04-2021 - 19:37
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Bài toán sai với $a=-9;b=9;c=2$ nhé bạn
Ta có đẳng thức: $\frac{x+y}{x-y}.\frac{y+z}{y-z}+\frac{y+z}{y-z}.\frac{z+x}{z-x}+\frac{z+x}{z-x}. \frac{x+y}{x-y} =-1$
Ta luôn có: $(\frac{x+y}{x-y}+\frac{y+z}{y-z}+\frac{z+x}{z-x})^2\geqslant 0$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{x+y}{x-y})^2+2(\frac{x+y}{x-y}.\frac{y+z}{y-x}+\frac{y+z}{y-z}.\frac{z+x}{z-x}+\frac{z+x}{z-x}.\frac{x+y}{x-y})\geqslant 0$
Vậy $\sum (\frac{x+y}{x-y})^2\geqslant 2 $(*)
hay $\sum \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2}\geqslant \frac{5}{2}$ (1)
Trừ 3 cho hai vế của (*), ta được:$ \sum ((\frac{x+y}{x-y})^2-1)\geqslant -1\Leftrightarrow \sum \frac{4xy}{(x-y)^2}\geqslant -1\Leftrightarrow \sum \frac{xy}{(x-y)^2}\geqslant \frac{-1}{4}$ (2)
Cộng theo vế hai BĐT (1) và (2), ta được: $\sum \frac{x^2+y^2+xy}{(x-y)^2}\geqslant \frac{9}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{(x-y)(x^2+y^2+xy)}{(x-y)^3}\geqslant \frac{9}{4}\Rightarrow Q.E.D$
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x+y}{x-y}+\frac{y+z}{y-z}+\frac{z+x}{z-x}=0$
Trước khi phán bài toán sai thì nên kiểm tra kĩ nha bạn!
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
